Corrigé Type : Contrôle Dynamique

Institut Galilée – USPN | PAM2

Durée : 30 min

Constante : \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \)

I. Conservation de la quantité de mouvement

Q1. Énoncer la loi de conservation de la quantité de mouvement.

"Dans un système isolé (ou pseudo-isolé), la quantité de mouvement totale du système reste constante au cours du temps : \( \sum \vec{p}_{\text{initial}} = \sum \vec{p}_{\text{final}} \)."

Q2. Expression littérale et calcul de la vitesse finale \( \vec{v} \).

On définit un axe horizontal orienté de gauche à droite. On a \( v_A = 2 \, \text{m/s} \) et \( v_B = -2/3 \, \text{m/s} \).

Par conservation de la quantité de mouvement :

\( m_A v_A + m_B v_B = (m_A + m_B) v_f \)

D'où l'expression : \( v_f = \frac{m_A v_A + m_B v_B}{m_A + m_B} \)

Application numérique :

\( v_f = \frac{0,5 \times 2 + 0,25 \times (-2/3)}{0,5 + 0,25} = \frac{1 - 1/6}{0,75} = \frac{5/6}{3/4} = \frac{20}{18} \approx \mathbf{1,11 \, \text{m/s}} \)

Sens du mouvement : Vers la droite (vitesse positive).

Q3. Calcul de \( \vec{p} \) avant et après. Conclusion.

Avant l'impact :

\( p_{\text{av}} = m_A v_A + m_B v_B \)

\( p_{\text{av}} = 1 - 0,1667 = 0,833 \, \text{kg}\cdot\text{m/s} \)

Après l'impact :

\( p_{\text{ap}} = (m_A + m_B) v_f \)

\( p_{\text{ap}} = 0,75 \times 1,111 = 0,833 \, \text{kg}\cdot\text{m/s} \)

Conclusion : La quantité de mouvement est conservée (\( p_{\text{av}} = p_{\text{ap}} \)).

II. Machine d'Atwood — Fil et poulie

Q4. Réaliser le schéma du dispositif et des forces.

Fil inextensible et idéal : \( T_1 = T_2 = T \)

Q5. Équations scalaires du PFD.

Système \( \{m_1\} \) (axe vers le haut) :

\( T - m_1 g = m_1 a \)

Système \( \{m_2\} \) (axe vers le bas) :

\( m_2 g - T = m_2 a \)

Q6. Expression littérale et calcul de l'accélération \( a \).

En sommant les deux équations précédentes :

\( (m_2 g - T) + (T - m_1 g) = (m_1 + m_2) a \)

\( (m_2 - m_1) g = (m_1 + m_2) a \)

\( a = g \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \)

Application numérique (\( m_1=8, m_2=10 \)) :

\( a = 9,81 \times \frac{10 - 8}{10 + 8} = 9,81 \times \frac{2}{18} = \frac{9,81}{9} \approx \mathbf{1,09 \, \text{m/s}^2} \)

Q7. Calcul de la tension \( T \) et de la réaction \( N \).

Tension du fil \( T \)

\( T = m_1(g + a) \)

\( T = 8 \times (9,81 + 1,09) \)

\( T = 87,2 \, \text{N} \)

Réaction poulie \( N \)

\( N = T + T = 2T \)

\( N = 2 \times 87,2 \)

\( N = 174,4 \, \text{N} \)

III. Corps attaché à un ressort — Oscillations

Q8. Équation de statique et \( z_{eq,A} \) pour \( t < 0 \).

À l'équilibre : \( \sum \vec{F} = \vec{0} \Rightarrow m_A \vec{g} + \vec{F}_{\text{ressort}} = \vec{0} \)

En projection sur l'axe \( z \) (vers le bas) : \( m_A g - k z_{eq,A} = 0 \)

A.N. : \( z_{eq,A} = \frac{m_A g}{k} = \frac{0,2 \times 9,81}{4} = \mathbf{0,491 \, \text{m} = 49,1 \, \text{cm}} \)

Q9. Vitesse \( v_B \) avant l'impact.

B chute de \( z=0 \) à \( z=z_{eq,A} \).

\( v_B = \sqrt{2 g z_{eq,A}} \)

\( v_B = \sqrt{2 \times 9,81 \times 0,491} \)

\( v_B \approx 3,10 \, \text{m/s} \)

Q10. Vitesse \( v_0 \) après l'impact.

Choc mou : \( m_B v_B = (m_A + m_B) v_0 \)

\( v_0 = \frac{m_B v_B}{m_A + m_B} = \frac{0,1 \times 3,10}{0,3} \)

\( v_0 \approx 1,033 \, \text{m/s} \)

Q11. Nouvel équilibre \( z_{eq,AB} \).

Statique (système \( A+B \)) : \( (m_A + m_B) g - k z_{eq,AB} = 0 \)

\( z_{eq,AB} = \frac{(0,2 + 0,1) \times 9,81}{4} = \frac{0,3 \times 9,81}{4} = \mathbf{0,736 \, \text{m}} \)

Q12. Amplitude \( A \) de l'oscillation.

Position initiale : \( z_{\text{initial}} = z_{eq,A} = 0,491 \, \text{m} \)

Pulsation : \( \omega_0^2 = \frac{k}{m_A + m_B} = \frac{4}{0,3} = 13,33 \, \text{rad}^2/\text{s}^2 \)

\( A^2 = (z_{\text{init}} - z_{eq,AB})^2 + \left(\frac{v_0}{\omega_0}\right)^2 \)

\( A^2 = (0,491 - 0,736)^2 + \frac{1,033^2}{13,33} \)

\( A^2 = 0,0600 + 0,0801 = 0,1401 \)

\( A \approx \mathbf{0,374 \, \text{m}} \)

Institut Galilée — PAM2 — Dynamique

Corrigé de contrôle rédigé — © 2026

Dynamique Master Corrigé Final

Dynamique Master Corrigé Final

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