Dynamique Master Corrigé Final
Corrigé Type : Contrôle Dynamique
Institut Galilée – USPN | PAM2
Durée : 30 min
Constante : \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \)
I. Conservation de la quantité de mouvement
Q1. Énoncer la loi de conservation de la quantité de mouvement.
"Dans un système isolé (ou pseudo-isolé), la quantité de mouvement totale du système reste constante au cours du temps : \( \sum \vec{p}_{\text{initial}} = \sum \vec{p}_{\text{final}} \)."
Q2. Expression littérale et calcul de la vitesse finale \( \vec{v} \).
On définit un axe horizontal orienté de gauche à droite. On a \( v_A = 2 \, \text{m/s} \) et \( v_B = -2/3 \, \text{m/s} \).
Par conservation de la quantité de mouvement :
\( m_A v_A + m_B v_B = (m_A + m_B) v_f \)
D'où l'expression : \( v_f = \frac{m_A v_A + m_B v_B}{m_A + m_B} \)
Application numérique :
\( v_f = \frac{0,5 \times 2 + 0,25 \times (-2/3)}{0,5 + 0,25} = \frac{1 - 1/6}{0,75} = \frac{5/6}{3/4} = \frac{20}{18} \approx \mathbf{1,11 \, \text{m/s}} \)
Sens du mouvement : Vers la droite (vitesse positive).
Q3. Calcul de \( \vec{p} \) avant et après. Conclusion.
Avant l'impact :
\( p_{\text{av}} = m_A v_A + m_B v_B \)
\( p_{\text{av}} = 1 - 0,1667 = 0,833 \, \text{kg}\cdot\text{m/s} \)
Après l'impact :
\( p_{\text{ap}} = (m_A + m_B) v_f \)
\( p_{\text{ap}} = 0,75 \times 1,111 = 0,833 \, \text{kg}\cdot\text{m/s} \)
Conclusion : La quantité de mouvement est conservée (\( p_{\text{av}} = p_{\text{ap}} \)).
II. Machine d'Atwood — Fil et poulie
Q4. Réaliser le schéma du dispositif et des forces.
m1 P1 T1 m2 P2 T2
Fil inextensible et idéal : \( T_1 = T_2 = T \)
Q5. Équations scalaires du PFD.
Système \( \{m_1\} \) (axe vers le haut) :
\( T - m_1 g = m_1 a \)
Système \( \{m_2\} \) (axe vers le bas) :
\( m_2 g - T = m_2 a \)
Q6. Expression littérale et calcul de l'accélération \( a \).
En sommant les deux équations précédentes :
\( (m_2 g - T) + (T - m_1 g) = (m_1 + m_2) a \)
\( (m_2 - m_1) g = (m_1 + m_2) a \)
\( a = g \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \)
Application numérique (\( m_1=8, m_2=10 \)) :
\( a = 9,81 \times \frac{10 - 8}{10 + 8} = 9,81 \times \frac{2}{18} = \frac{9,81}{9} \approx \mathbf{1,09 \, \text{m/s}^2} \)
Q7. Calcul de la tension \( T \) et de la réaction \( N \).
Tension du fil \( T \)
\( T = m_1(g + a) \)
\( T = 8 \times (9,81 + 1,09) \)
\( T = 87,2 \, \text{N} \)
Réaction poulie \( N \)
\( N = T + T = 2T \)
\( N = 2 \times 87,2 \)
\( N = 174,4 \, \text{N} \)
III. Corps attaché à un ressort — Oscillations
Q8. Équation de statique et \( z_{eq,A} \) pour \( t < 0 \).
À l'équilibre : \( \sum \vec{F} = \vec{0} \Rightarrow m_A \vec{g} + \vec{F}_{\text{ressort}} = \vec{0} \)
En projection sur l'axe \( z \) (vers le bas) : \( m_A g - k z_{eq,A} = 0 \)
A.N. : \( z_{eq,A} = \frac{m_A g}{k} = \frac{0,2 \times 9,81}{4} = \mathbf{0,491 \, \text{m} = 49,1 \, \text{cm}} \)
Q9. Vitesse \( v_B \) avant l'impact.
B chute de \( z=0 \) à \( z=z_{eq,A} \).
\( v_B = \sqrt{2 g z_{eq,A}} \)
\( v_B = \sqrt{2 \times 9,81 \times 0,491} \)
\( v_B \approx 3,10 \, \text{m/s} \)
Q10. Vitesse \( v_0 \) après l'impact.
Choc mou : \( m_B v_B = (m_A + m_B) v_0 \)
\( v_0 = \frac{m_B v_B}{m_A + m_B} = \frac{0,1 \times 3,10}{0,3} \)
\( v_0 \approx 1,033 \, \text{m/s} \)
Q11. Nouvel équilibre \( z_{eq,AB} \).
Statique (système \( A+B \)) : \( (m_A + m_B) g - k z_{eq,AB} = 0 \)
\( z_{eq,AB} = \frac{(0,2 + 0,1) \times 9,81}{4} = \frac{0,3 \times 9,81}{4} = \mathbf{0,736 \, \text{m}} \)
Q12. Amplitude \( A \) de l'oscillation.
Position initiale : \( z_{\text{initial}} = z_{eq,A} = 0,491 \, \text{m} \)
Pulsation : \( \omega_0^2 = \frac{k}{m_A + m_B} = \frac{4}{0,3} = 13,33 \, \text{rad}^2/\text{s}^2 \)
\( A^2 = (z_{\text{init}} - z_{eq,AB})^2 + \left(\frac{v_0}{\omega_0}\right)^2 \)
\( A^2 = (0,491 - 0,736)^2 + \frac{1,033^2}{13,33} \)
\( A^2 = 0,0600 + 0,0801 = 0,1401 \)
\( A \approx \mathbf{0,374 \, \text{m}} \)
Institut Galilée — PAM2 — Dynamique
Corrigé de contrôle rédigé — © 2026
