Guide du Maître en Mécanique Précis Guide du Maître
Dynamique Analytique (L1/L2) - Série Complète 05-13
Expertise
Objectifs de la Séquence
Cette séquence complète couvre la dynamique du point, les systèmes complexes (looping, orbital) et les lois de conservation.
Stabilité & Chocs
Ex 5, 6, 7, 12. Analyse des points d'équilibre et transferts de quantité de mouvement.
Forces Centrales & Champs
Ex 11, 13. Mouvement à accélération centrale et stabilité en référentiel non-galiléen.
Points de Vigilance (Série Avancée)
Pour l'Ex 12 (Collision 2D) , la démonstration de l'orthogonalité est un "standard" de L1. Elle permet de vérifier la compréhension de la conservation vectorielle de \(\vec{p}\) couplée à la conservation scalaire de \(E_c\).
Solutions Stratégiques (I)
Ex 5 : Ressort Tournant
Équilibre : \(d = \frac{kd_0}{k-m\omega_0^2}\). Expliquer que si \(\omega_0 \to \omega_c = \sqrt{k/m}\), l'élongation diverge (instabilité élastique).
Ex 6 & 7 : Réponse impulsionnelle
L'amplitude est pilotée par la discontinuité de la force à \(t=0\). Pour le choc (Ex 7), insister sur le fait que l'énergie n'est PAS conservée pendant le choc (choc inélastique) mais seulement après (oscillation).
Ex 8 & 9 : Contraintes Unilatérales
La réaction \(N\) ne peut être que positive. L'annulation de \(N\) définit le point de décollage. Pour le looping (Ex 9), le point critique est le sommet : \(v_C \ge \sqrt{gR}\).
Solutions Stratégiques (II)
Ex 10 : Frottements de Coulomb
Différencier \(\mu_s\) (statique) et \(\mu_k\) (cinétique). L'équilibre nécessite \(|P_x| \le \mu_s N\). L'accélération en glissement est \(a = g(\sin\theta - \mu_k \cos\theta)\).
Ex 11 : Mécanique Orbitale
Utiliser la RFD en base polaire. \(\frac{GM_T m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}\). Kepler 3 est une conséquence directe de l'invariance de \(G\) et \(M_T\).
Ex 12 : Collisions 2D
Méthode vectorielle : \(\vec{v}_0 = \vec{v}_A + \vec{v}_B\). Élever au carré : \(v_0^2 = v_A^2 + v_B^2 + 2\vec{v}_A \cdot \vec{v}_B\). Comparer avec l'énergie : \(v_0^2 = v_A^2 + v_B^2\). Conclusion immédiate sur l'angle droit.
Ex 13 (Bonus) : Perle sur Cercle
Étude d'une perle tournant autour d'un axe vertical. Existence d'une vitesse angulaire critique \(\omega_c = \sqrt{g/R}\) au-delà de laquelle l'équilibre au fond (\(\theta=0\)) devient instable au profit d'une position \(\theta \ne 0\). (Bifurcation de pitchfork).
Cahier d'Exercices Mécanique (L1) TD de Mécanique II
Série Complète (05-13) Niveau Licence
Nom : __________________________________
Date : __________________________________
EX 05 Ressort Tournant
Masse \(m\) attachée à un ressort \(k\) tournant à \(\omega_0\). \(F = k(d-d_0)\).
a) Déterminer l'élongation \(d(\omega_0)\). Expliquer la condition de stabilité critique sur \(\omega_0\).
EX 06 Rupture de Masse
Masses \(m_A, m_B\). À \(t=0\), \(B\) se détache de \(A\). \(z_{repos} = 0\).
a) Déterminer les positions d'équilibre statique et déduire l'amplitude des oscillations \(A\).
EX 07 Capture Inélastique
\(A\) au repos à son équilibre. \(B\) lâché de \(z=0\) et s'attache à \(A\) à \(t=0\).
Calculer la vitesse \(v_{après}\) du système après l'impact par un bilan de quantité de mouvement.
À l'aide d'un bilan énergétique à \(t=0^+\), calculer l'amplitude finale des oscillations.
EX 08 Glissement Hémisphérique
Boule ponctuelle sur dôme de rayon \(R\). \(\theta = 0\) au sommet. Glissement sans frottement.
a) Exprimer la réaction normale \(N(\theta)\). À quel angle \(\theta_c\) la boule quitte-t-elle le support ?
EX 09 Le Looping (Grand Saut)
Chariot \(m\) lâché de \(h\) sur une boucle verticale de rayon \(R\).
Vitesse au sommet. Condition de maintien sur la boucle au point critique ?
Calculer la force pressante au point le plus bas de la boucle.
EX 10 Plan Incliné et Frottements Secs
Bloc \(m=2kg\), \(\theta=30^{\circ}\), \(\mu_s=0.6, \mu_k=0.4\).
a) Étude de l'équilibre au lâcher sans vitesse. Justifier par un calcul vectoriel.
b) Déterminer l'accélération \(a\) si le bloc est mis en mouvement vers le bas.
EX 11 Mécanique Orbitale
Satellite en orbite circulaire à \(R_T+h\). Force centrale gravitationnelle.
Montrer l'uniformité du mouvement. Exprimer \(v\) et \(T\). Kepler 3 ?
EX 12 Collision en Deux Dimensions
Choc élastique de deux boules identiques (A animée, B au repos). \(\theta_A = 30^{\circ}\).
Montrer par le formalisme vectoriel que les trajectoires post-choc sont orthogonales.
Calculer les vitesses finales \(v_A\) et \(v_B\) en fonction de \(v_0\).
EX 13 Bonus : Perle sur Cercle Tournant
Une perle glisse sans frottement sur un cercle vertical tournant à \(\omega\).
Discuter la stabilité de l'équilibre au point le plus bas en fonction de \(\omega\).
Corrigé des Exercices de Mécanique Corrigé des Exercices
Série Complète : 05-12
EX 05 Ressort Tournant
a) Équilibre centrifuge : \(-k(d-d_0) + m\omega_0^2 d = 0 \implies d = \frac{k d_0}{k - m\omega_0^2}\).
Condition : \(\omega_0 < \sqrt{k/m}\) pour éviter l'allongement infini.
b) Rupture : \(d_{max} = \frac{10}{3} + 0.1 \approx 3.43 \, m\). \(\omega_{max} = \sqrt{\frac{10}{0.5 \times 3.43}} \approx 2.41 \, rad.s^{-1}\).
EX 06 Rupture de Masse
a) \(z_{eq1} = \frac{(m_A+m_B)g}{k}\) ; \(z_{eq2} = \frac{m_A g}{k}\).
b) Amplitude \(A = |z_{eq1} - z_{eq2}| = \frac{m_B g}{k}\).
EX 07 Choc Vertical
1. \(z_{eqA} = m_A g/k\). 2. \(v_B = \sqrt{2 g z_{eqA}}\). 3. \(v_0 = \frac{m_B v_B}{m_A + m_B}\).
4. \(z_{eq2} = (m_A+m_B)g/k\). Amplitude \(A = \sqrt{(z_{eqA}-z_{eq2})^2 + v_0^2/\omega^2}\) avec \(\omega^2 = k/(m_A+m_B)\).
EX 08 Dôme Hémisphérique
1. Énergie : \(v^2 = 2gR(1-\cos\theta)\). 2. RFD normale : \(N = mg \cos\theta - m v^2/R\).
\(N(\theta) = mg(3 \cos\theta - 2)\)
Décollage à \(N=0 \implies \cos\theta = 2/3\).
EX 09 Le Looping (Grand Saut)
1. \(v_C = \sqrt{2g(h-2R)}\). 2. \(N_C \ge 0 \implies v_C^2 \ge gR \implies h \ge 2.5 R\).
3. \(v_A = \sqrt{2gh} \implies N_A = mg(1 + 2h/R)\).
EX 10 Plan Incliné et Frottements
a) Équilibre : \(P_x = 9.81 \, N\), \(f_{s,max} = 10.19 \, N\). Équilibre maintenu.
b) Accélération : \(a = g(\sin 30 - 0.4 \cos 30) \approx 1.50 \, m.s^{-2}\).
c) Force minimale : \(F = mg(\sin 30 + 0.4 \cos 30) \approx 16.59 \, N\).
EX 11 Mécanique Orbitale
1. Force centrale \(\vec{M}_O = \vec{0} \implies \vec{L} = const\). En circulaire, \(r=const \implies v=const\).
2. \(v = \sqrt{G M_T / r}\) et \(T = 2\pi \sqrt{r^3 / G M_T}\) avec \(r = R_T+h\).
3. Kepler 3 : \(T^2 / r^3 = 4\pi^2 / G M_T\).
EX 12 Collision 2D
1. \(\vec{v}_0 = \vec{v}_A + \vec{v}_B\) (Conservation \(\vec{p}\)).
2. \(v_0^2 = v_A^2 + v_B^2\) (Élastique). \(\implies 2 \vec{v}_A \cdot \vec{v}_B = 0\) (Orthogonalité).
3. \(\theta_A = 30^{\circ} \implies \theta_B = -60^{\circ}\).
Document Lenny - Série Complète Corrigée
Focus Correction Exercice 5 Correction Détaillée
Module de Mécanique Analytique • Focus EX-05
EX 05 : Équilibre du Ressort en Rotation
1. Modélisation et Bilans
On étudie le corps de masse \(m\) dans le référentiel tournant \(\mathcal{R}'\) lié au ressort. Ce référentiel est non-galiléen, il subit une rotation uniforme à la vitesse angulaire \(\vec{\omega}_0 = \omega_0 \vec{u}_z\).
Dans ce référentiel, le corps est soumis à trois forces :
• Force de rappel élastique : \(\vec{F}_r = -k(d - d_0) \vec{u}_r\)
• Force d'inertie d'entraînement (centrifuge) : \(\vec{F}_{ie} = -m \vec{a}_e = m \omega_0^2 d \vec{u}_r\)
• Force d'inertie de Coriolis : \(\vec{F}_c = -2m \vec{\omega}_0 \times \vec{v}_{rel}\). À l'équilibre, \(\vec{v}_{rel} = \vec{0}\), donc \(\vec{F}_c = \vec{0}\).
2. Condition d'Équilibre Statique
L'équilibre dans \(\mathcal{R}'\) impose \(\sum \vec{F}_{ext} + \vec{F}_{inertie} = \vec{0}\). En projection sur l'axe radial \(\vec{u}_r\) :
\[-k(d - d_0) + m \omega_0^2 d = 0\] \[m \omega_0^2 d - kd + kd_0 = 0\] \[d(m \omega_0^2 - k) = -kd_0\]
On en déduit l'expression de la longueur \(d\) du ressort :
\(d = \frac{kd_0}{k - m \omega_0^2}\)
Remarque : Si \(k = m\omega_0^2\), la longueur diverge. C'est le point critique de résonance statique où la force centrifuge compense exactement la raideur.
3. Seuil de Rupture Élastique
On définit la force de rappel critique \(F_{max} = 10 \, N\). À la limite de rupture :
\[F_{max} = k(d_{max} - d_0) \implies d_{max} = \frac{F_{max}}{k} + d_0\]
En injectant les valeurs numériques :
\[d_{max} = \frac{10}{3} + 0.1 = 3.33 + 0.1 = 3.43 \, m\]
La vitesse angulaire de rupture \(\omega_{max}\) se déduit de la condition d'équilibre à \(d_{max}\) :
\[k(d_{max} - d_0) = m \omega_{max}^2 d_{max} \implies F_{max} = m \omega_{max}^2 d_{max}\] \[\omega_{max} = \sqrt{\frac{F_{max}}{m \cdot d_{max}}} = \sqrt{\frac{10}{0.5 \times 3.43}} \approx 2.41 \, rad.s^{-1}\]
4. Cas de l'énoncé (\(\omega_0 = 2\))
Calculons \(d\) pour la vitesse imposée :
\[d = \frac{3 \times 0.1}{3 - 0.5 \times (2)^2} = \frac{0.3}{3 - 2} = 0.3 \, m\]
On vérifie la force subie : \(F = k(0.3 - 0.1) = 3 \times 0.2 = 0.6 \, N\). Comme \(0.6 \, N < 10 \, N\), le ressort est stable.
Autres Solutions (Synthèse)
EX 06 : Amplitude
\(A = |z_{eq1} - z_{eq2}| = \frac{m_B g}{k}\). Rupture de symétrie de la position d'équilibre.
EX 11 : Kepler
Focus Correction Exercice 9 Correction Détaillée
Mécanique du Point • Focus EX-09 (Loop-the-Loop)
EX 09 : Le Grand Saut (Boucle Verticale)
1. Vitesse du chariot au sommet (Point C)
Le système est soumis au poids \(\vec{P}\) (force conservative) et à la réaction de la piste \(\vec{N}\). Les frottements étant négligés, la réaction est normale au mouvement : son travail est nul (\(W(\vec{N}) = 0\)). L'énergie mécanique \(E_m\) se conserve donc entre le point de départ (\(h\)) et le sommet de la boucle (\(2R\)).
\[E_m(départ) = E_c + E_p = 0 + mgh\] \[E_m(C) = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg(2R)\] \[mgh = \frac{1}{2}mv_C^2 + 2mgR \implies \frac{1}{2}v_C^2 = g(h - 2R)\]
\(v_C = \sqrt{2g(h - 2R)}\)
2. Condition de non-décollage au sommet
Pour que le chariot reste en contact avec la piste, la réaction normale \(\vec{N}\) doit être non nulle (poussée vers le centre). Au point C, la RFD en base de Frenet sur l'axe normal (dirigé vers le bas) donne :
\[\sum F_n = m a_n \implies N_C + mg = m \frac{v_C^2}{R}\] \[N_C = m \left( \frac{v_C^2}{R} - g \right)\]
La condition limite de contact est \(N_C \ge 0\), soit \(v_C^2 \ge gR\). En substituant \(v_C^2\) :
\[2g(h - 2R) \ge gR \implies 2h - 4R \ge R \implies 2h \ge 5R\]
\(h \ge 2.5 R\)
Attention : Une hauteur \(h = 2R\) ne suffit pas ! Il faut une énergie cinétique minimale au sommet pour compenser la pesanteur.
3. Réaction de la piste au point bas (Point A)
À la base de la boucle (altitude \(z=0\)), la conservation de l'énergie donne \(v_A = \sqrt{2gh}\). La RFD sur l'axe normal au point A (dirigé vers le haut) donne :
\[N_A - mg = m \frac{v_A^2}{R} \implies N_A = mg + m \frac{2gh}{R}\]
\(N_A = mg \left( 1 + \frac{2h}{R} \right)\)
Exemple : Si le chariot est lâché à la hauteur critique \(h = 2.5R\), la réaction au bas est :
\[N_A = mg(1 + 5) = 6mg\]
Le passager ressentirait alors une accélération de \(6g\), ce qui est la limite physiologique habituelle.
Focus Correction Exercices 10-12 Focus : Frottements Secs
Détail Analytique • Exercice 10
EX 10 : Bloc sur Plan Incliné
Statique
a) Équilibre au repos ?
Le bloc est soumis à \(\vec{P}\), \(\vec{N}\) et \(\vec{f}_s\). Projetons sur l'axe \(Ox\) parallèle au plan : \(mg \sin \theta - f_s = 0\). La force motrice est \(P_x = mg \sin 30^{\circ} = 2 \times 9.81 \times 0.5 = 9.81 \, N\).
La force de frottement statique maximale admissible est :
\[f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s mg \cos \theta\] \[f_{s,max} = 0.6 \times 2 \times 9.81 \times \cos 30^{\circ} \approx 10.19 \, N\]
Puisque \(P_x < f_{s,max}\), le frottement statique peut compenser le poids.
Dynamique
b) Accélération en glissement
Si on met le bloc en mouvement, on utilise \(\mu_k = 0.4\). La force de frottement cinétique est \(f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta\).
\[m a = mg \sin \theta - \mu_k mg \cos \theta\] \[a = g(\sin 30^{\circ} - 0.4 \cos 30^{\circ}) \approx 9.81(0.5 - 0.346)\]
\(a \approx 1.51 \, m.s^{-2}\)
Équilibre Dynamique
c) Force de remontée F
Pour remonter à \(v=const\), l'accélération est nulle. Le frottement \(f_k\) s'oppose au mouvement (dirigé vers le bas).
\[F - mg \sin \theta - f_k = 0 \implies F = mg(\sin 30^{\circ} + 0.4 \cos 30^{\circ})\]
\(F \approx 16.59 \, N\)
Focus : Mécanique Céleste
Détail Analytique • Exercice 11
EX 11 : Satellites en Orbite
1. Preuve du mouvement uniforme
La force gravitationnelle \(\vec{F} = -G \frac{M m}{r^2} \vec{u}_r\) est une force centrale. Le moment de cette force au centre \(O\) de la Terre est nul : \(\vec{M}_O(\vec{F}) = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{0}\).
D'après le théorème du moment cinétique, \(\vec{L}_O\) est constant. En orbite circulaire (\(r = const\)), on a \(L = m r v = const\).
2. Vitesse et Période
Appliquons la RFD sur l'axe normal (Base de Frenet) :
\[G \frac{M_T m}{r^2} = m \frac{v^2}{r} \implies v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}\]
La période \(T\) est le temps pour parcourir \(2\pi r\) :
\[T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi r \sqrt{\frac{r}{G M_T}} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_T}}\]
3. Troisième Loi de Kepler
Élevons au carré l'expression de la période :
\[T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{G M_T} \implies \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G M_T}\]
Comme \(G\) et \(M_T\) sont constants, le rapport \(\frac{T^2}{r^3}\) est constant pour tous les satellites d'un même corps.
