Orbites Précises Slides Rotation Parfaite
Cinématique du Mouvement Circulaire Uniforme
PHY-MCU-01
Le Concept du MCU
Un mouvement est dit Circulaire Uniforme lorsque :
La trajectoire est un cercle de rayon \(R\).
La vitesse scalaire \(v\) reste constante au cours du temps.
La direction du vecteur vitesse change continuellement.
Note cruciale :
Même si la valeur de la vitesse est constante, il y a une accélération car la direction change !
\(\vec{v}\)
Vecteur vitesse tangent à la trajectoire
Les Grandeurs Fondamentales
Vitesse Angulaire
\[\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}\]
Unité : Radian par seconde (rad/s)
Vitesse Linéaire
\[v = \omega \cdot R\]
Unité : Mètre par seconde (m/s)
Période
\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]
Unité : Seconde (s)
La fréquence \(f\) est l'inverse de la période : \[f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}\] (Unité : Hertz, Hz)
L'Accélération Centripète
Dans un MCU, l'accélération est toujours dirigée vers le centre du cercle.
Elle est responsable uniquement du changement de direction du vecteur vitesse.
\[a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R\]
"Centripète" signifie "qui tend vers le centre".
\(\vec{v}\)
\(\vec{a}_c\)
Centre O
Analyse Graphique
Position Angulaire \(\theta(t)\)
C'est une fonction linéaire du temps :
\[\theta(t) = \omega t + \theta_0\]
La pente du graphique \(\theta(t)\) est la vitesse angulaire \(\omega\).
Vitesse Angulaire \(\omega(t)\)
Constante !
Une droite horizontale au-dessus de l'axe du temps.
\(\theta\)
t
Pente = \(\omega\)
\(\omega\)
t
Constante
Rotation Totale Exercices Rotation Totale
Cinématique : Mouvement Circulaire Uniforme (MCU)
NOM :
DATE :
1. Vecteurs et Fondamentaux
Exercice 1 : Un disque de rayon \(R = 15\text{ cm}\) tourne à une fréquence de \(33\text{ tours/min}\).
a) Déterminez la période \(T\) de rotation et la vitesse angulaire \(\omega\).
b) Calculez la vitesse linéaire \(v\) d'un point situé sur le bord extérieur du disque.
Exercice 2 : Représentation vectorielle. Sur le schéma ci-dessous représentant une particule en MCU (sens anti-horaire) :
P
Consignes :
Tracez le vecteur position \(\vec{r}\) de la particule \(P\).
Tracez le vecteur vitesse \(\vec{v}\) à l'instant représenté (sans souci d'échelle).
Tracez le vecteur accélération \(\vec{a}\) à l'instant représenté.
Justifiez pourquoi le vecteur vitesse n'est pas nul alors que sa norme est constante.
2. Analyse Graphique
Exercice 3 : On enregistre l'angle parcouru \(\theta\) (en radians) par un pendule effectuant un cercle horizontal en fonction du temps.
1.5 1.0 0.5
0 1 2 3
\(\theta\) (rad)
t (s)
a) Identifiez le type de mouvement à partir du graphique.
b) Déterminez graphiquement la valeur de la vitesse angulaire \(\omega\).
c) Si le rayon est de \(0,4\text{ m}\), quelle est l'accélération centripète ?
3. Problèmes de Synthèse
Exercice 4 : Un satellite artificiel tourne autour de la Terre à une altitude de \(400\text{ km}\). Son mouvement est considéré comme circulaire uniforme. Le rayon de la Terre est \(R_T = 6370\text{ km}\) et l'accélération de la pesanteur à cette altitude est \(g = 8,7\text{ m/s}^2\).
1. Quelle est la valeur de la vitesse linéaire \(v\) du satellite pour qu'il reste sur son orbite ? (Indice : l'accélération centripète est égale à \(g\))
2. Combien de temps le satellite met-il pour effectuer un tour complet de la Terre ? Exprimez le résultat en minutes.
Guide du Professeur Rotation Key Guide de Correction
Module : Rotation Totale (MCU)
PROFESSEUR
Exercice 1 : Disque en rotation
Données :
\(f = 33 \text{ tr/min} = 33 / 60 \text{ Hz} = 0,55 \text{ Hz}\)
\(R = 0,15 \text{ m}\)
Calculs :
a) \(T = 1/f = 1/0,55 \approx \mathbf{1,82 \text{ s}}\)
\(\omega = 2\pi f = 2\pi \times 0,55 \approx \mathbf{3,46 \text{ rad/s}}\)
b) \(v = \omega R = 3,46 \times 0,15 \approx \mathbf{0,52 \text{ m/s}}\)
Exercice 2 : Représentation vectorielle
Vecteurs : \(\vec{r}\) part de l'origine vers P. \(\vec{v}\) est tangent au cercle en P, pointant vers le haut-gauche (car sens anti-horaire). \(\vec{a}\) pointe de P vers l'origine.
Justification : La vitesse est un vecteur. Même si sa norme (valeur scalaire) est constante, sa direction varie à chaque instant. Toute variation du vecteur vitesse (norme OU direction) implique une accélération non nulle.
Exercice 3 : Analyse graphique
a) Type de mouvement : Mouvement Circulaire Uniforme car \(\theta(t)\) est une droite (vitesse angulaire constante).b) Vitesse angulaire : \(\omega = \text{pente} = \Delta\theta / \Delta t\). Sur le graph, pour \(t=3\text{s}\), \(\theta \approx 1,2 \text{rad}\). Donc \(\omega \approx \mathbf{0,4 \text{ rad/s}}\).c) Accélération centripète : \(a_c = \omega^2 R = (0,4)^2 \times 0,4 = 0,16 \times 0,4 = \mathbf{0,064 \text{ m/s}^2}\).
Exercice 4 : Satellite ISS
Données : \(R_{total} = R_T + h = 6370 + 400 = 6770 \text{ km} = 6,77 \times 10^6 \text{ m}\). \(a_c = g = 8,7 \text{ m/s}^2\).
1. Vitesse linéaire : \(a_c = v^2 / R \Rightarrow v = \sqrt{a_c R} = \sqrt{8,7 \times 6,77 \times 10^6} \approx \mathbf{7674 \text{ m/s}}\) (soit environ \(27600 \text{ km/h}\)).
2. Période : \(v = 2\pi R / T \Rightarrow T = 2\pi R / v = (2 \times \pi \times 6,77 \times 10^6) / 7674 \approx 5543 \text{ s}\).
En minutes : \(5543 / 60 \approx \mathbf{92,4 \text{ min}}\).
Conseils Pédagogiques
Insistez sur la conversion des unités (tr/min en rad/s) qui est la source d'erreur la plus fréquente. Rappelez que le radian est une unité "fantôme" qui disparaît dans le calcul de \(v = \omega R\).
Gestion du Temps
Exercices 1 & 2 : 15 min. Analyse graphique : 10 min. Problème satellite : 20 min. Total : environ 45-50 min de travail effectif.
Vol Libre Slides Vol Libre
Chute Libre et Trajectoires Paraboliques
PHY-PROJ-02
La Chute Libre Verticale
Un objet est en chute libre s'il n'est soumis qu'à son poids (on néglige l'air).
Équations du mouvement (selon \(y\)) :
\(a_y = -g = -9,81 \text{ m/s}^2\)
\(v_y(t) = -gt + v_0\)
\(y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + y_0\)
\(\vec{g}\)
L'accélération est constante et vers le bas.
Trajectoire Parabolique
C'est la combinaison de deux mouvements indépendants :
Horizontal (Axe X)
MRU (Vitesse constante)
Aucune force n'agit horizontalement.
\(x(t) = v_{0x} \cdot t\)
Vertical (Axe Y)
MRUA (Accélération constante)
La gravité \(g\) agit vers le bas.
\(y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t + y_0\)
Le Lancement : Vecteurs
\(\vec{v}_0\)
\(\alpha\)
Composantes à \(t = 0\) :
\(v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)\)
\(v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)\)
"Au sommet de la trajectoire, la vitesse verticale \(v_y\) est nulle, mais la vitesse horizontale \(v_x\) reste inchangée."
Profils Graphiques
Vitesse Horizontale \(v_x(t)\)
t
Constante (MRU)
Vitesse Verticale \(v_y(t)\)
t
Linéaire décroissante (MRUA)
Trajectoire \(y(x)\)
x
Parabole
Trajectoire Cible Exercices Trajectoire Cible
Cinématique : Chute Libre et Projectiles
NOM :
DATE :
1. Chute Libre Verticale
Exercice 1 : Une bille est lâchée sans vitesse initiale du haut d'un pont. Elle touche l'eau après \(2,5 \text{ secondes}\). On néglige la résistance de l'air. (\(g = 9,8 \text{ m/s}^2\))
a) Quelle est la hauteur du pont par rapport au niveau de l'eau ?
b) Quelle est la vitesse de la bille juste avant l'impact ? (Donnez le résultat en m/s et en km/h)
2. Mouvement Parabolique
Exercice 2 : Un ballon de football est frappé avec une vitesse initiale \(v_0 = 20 \text{ m/s}\) faisant un angle de \(30^\circ\) avec l'horizontale.
a) Calculez les composantes initiale de la vitesse \(v_{0x}\) et \(v_{0y}\).
b) Quel est le temps nécessaire pour atteindre le sommet de la trajectoire ?
c) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?
d) Quelle est la portée du tir (distance horizontale totale) ?
3. Analyse Graphique
Exercice 3 : Voici le graphique de la vitesse verticale \(v_y(t)\) d'un projectile lancé vers le haut.
\(v_y\) (m/s)
t (s)
20
2,0 s
1. À quel instant le projectile atteint-il sa hauteur maximale ? Justifiez.
2. Déterminez la pente du graphique. Que représente-t-elle physiquement ?
4. Le Défi du Cascadeur
Un motard veut sauter par-dessus un ravin de \(15 \text{ m}\) de large. Il quitte le tremplin incliné à \(20^\circ\) à une vitesse de \(72 \text{ km/h}\). Le point de réception est à la même hauteur que le point de départ.
Le motard réussira-t-il son saut ? Justifiez par un calcul complet.
Guide du Professeur Vol Key Guide de Correction
Module : Trajectoire Cible (Chute & Projectiles)
PROFESSEUR
Exercice 1 : Chute du pont
a) Hauteur :
\(y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + y_0\)
À l'impact, \(y = 0 \Rightarrow y_0 = \frac{1}{2}gt^2\)
\(y_0 = 0,5 \times 9,8 \times (2,5)^2 = 4,9 \times 6,25\)
\(y_0 = \mathbf{30,6 \text{ m}}\)
b) Vitesse finale :
\(v_y = -gt = -9,8 \times 2,5 = \mathbf{-24,5 \text{ m/s}}\)
En valeur absolue : \(24,5 \text{ m/s}\)
En km/h : \(24,5 \times 3,6 = \mathbf{88,2 \text{ km/h}}\)
Exercice 2 : Tir au ballon
a) Composantes :
\(v_{0x} = 20 \cos(30^\circ) = 20 \times 0,866 \approx \mathbf{17,3 \text{ m/s}}\)
\(v_{0y} = 20 \sin(30^\circ) = 20 \times 0,5 = \mathbf{10,0 \text{ m/s}}\)
b) Temps au sommet :
\(v_y = 0 \Rightarrow 0 = -gt + v_{0y} \Rightarrow t = v_{0y}/g\)
\(t = 10,0 / 9,8 \approx \mathbf{1,02 \text{ s}}\)
c) Hauteur max :
\(h_{max} = -\frac{1}{2}g t_{sommet}^2 + v_{0y} t_{sommet}\)
\(h_{max} = -4,9 \times (1,02)^2 + 10 \times 1,02 \approx \mathbf{5,1 \text{ m}}\)
d) Portée :
\(t_{total} = 2 \times t_{sommet} = 2,04 \text{ s}\)
\(x = v_{0x} \cdot t_{total} = 17,3 \times 2,04 \approx \mathbf{35,3 \text{ m}}\)
Exercice 3 : Analyse graphique
1. Sommet : Le projectile atteint sa hauteur maximale à l'instant où \(v_y = 0\). Sur le graphique, c'est l'intersection avec l'axe des temps, soit à \(t = \mathbf{2,0 \text{ s}}\).
2. Pente : La pente est \(\Delta v_y / \Delta t = (0 - 20) / 2,0 = \mathbf{-10 \text{ m/s}^2}\). Elle représente l'accélération de la pesanteur (\(-g\)).
Exercice 4 : Solution du Cascadeur
Vitesse : \(72 \text{ km/h} = 20 \text{ m/s}\). Angle : \(20^\circ\). Ravin : \(15 \text{ m}\).
\(v_{0x} = 20 \cos(20^\circ) \approx 18,79 \text{ m/s}\).
\(v_{0y} = 20 \sin(20^\circ) \approx 6,84 \text{ m/s}\).
Temps de vol : \(t = 2 \cdot v_{0y} / g = 2 \times 6,84 / 9,8 \approx 1,40 \text{ s}\).
Portée : \(x = v_{0x} \cdot t = 18,79 \times 1,40 \approx \mathbf{26,3 \text{ m}}\).
Conclusion : Oui, il réussit car \(26,3 \text{ m} > 15 \text{ m}\). 
