Intégrales Éco Slides Analyse Intégrale
Applications en Économie et Gestion
L1 Éco-Gestion
Rennes
L'Intégration par Parties (IPP)
Basée sur la dérivation d'un produit : \((uv)' = u'v + uv'\)
\[ \int u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx \]
Astuce "ALPES" pour choisir \(u\) : Arcsin, Log, Poly, Exp, Sin/Cos.
Exemple Guidé
Calculer \( \int x e^x dx \)
\[ \int x e^x dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x dx \] \[ = x e^x - e^x + C \] \[ = (x-1)e^x + C \]
Équilibre et Surplus
Surplus Consommateur (SC)
Gain net des acheteurs payant moins que leur prix de réserve.
Surplus Producteur (SP)
Gain net des vendeurs recevant plus que leur coût marginal.
L'aire entre les courbes de demande/offre et le prix d'équilibre \(P^*\).
Formules Intégrales
Consommateur
\[ SC = \int_0^{Q^*} f(Q) dQ - P^* Q^* \]
\(f(Q)\) : Fonction de demande
Producteur
\[ SP = P^* Q^* - \int_0^{Q^*} g(Q) dQ \]
\(g(Q)\) : Fonction d'offre
Indice de Gini
Mesure statistique de la distribution des revenus (ou richesses) dans une population.
0 : Égalité parfaite1 : Inégalité maximale
La Courbe de Lorenz \(L(x)\)
\[ G = 2 \int_0^1 (x - L(x)) dx \]
Où \(x\) est la part cumulée de la population.
À vous de jouer !
Nous allons maintenant appliquer ces outils sur des cas concrets de modélisation économique.
Technique
IPP & Intégrales
Marché
Surplus Cons/Prod
Social
Courbe de Lorenz
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Applications en Économie - L1 Éco-Gestion
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Instructions
Ce TD porte sur les outils fondamentaux de l'analyse intégrale appliqués aux problématiques économiques. Justifiez chaque étape de vos calculs, particulièrement pour les intégrations par parties. Utilisez des unités monétaires (UM) lorsque cela est pertinent.
1
Technique d'intégration par parties
Le coût marginal \( Cm(q) \) d'une entreprise pour une production \( q \) est modélisé par la fonction suivante : \[ Cm(q) = (2q + 10) \cdot e^{-0.1q} \]
1. En utilisant une intégration par parties, déterminez la primitive de \( Cm(q) \).
Détaillez le choix de \( u \) et \( v' \)
2. Si les coûts fixes s'élèvent à \( 500 \) UM, donnez l'expression complète de la fonction de coût total \( CT(q) \).
2
Répartition des revenus (Gini)
La courbe de Lorenz d'un pays est donnée par la fonction \( L(x) = \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{3}x^3 \) pour \( x \in [0, 1] \). \( x \) représente la part cumulée de la population et \( L(x) \) la part cumulée du revenu total.
1. Vérifiez que cette fonction est bien une courbe de Lorenz (valeurs aux bornes).
2. Calculez l'indice de Gini de ce pays en utilisant la formule : \( G = 2 \int_0^1 (x - L(x)) dx \).
Calcul de l'intégrale
3
Surplus du Marché
Sur le marché d'un produit spécifique, les fonctions de demande et d'offre sont :
1. Déterminez le point d'équilibre \( (Q^*, P^*) \).
2. Calculez le surplus du consommateur (SC).
3. Calculez le surplus du producteur (SP) et le surplus total.
Intégrales Éco Corrigés Calcul Intégral
Guide de Corréction - Enseignant
Version Corrigée
1
Corrigé : Technique d'IPP
1. Calcul de la primitive de \( Cm(q) = (2q + 10)e^{-0.1q} \)
On utilise l'IPP avec la formule \( \int uv' = uv - \int u'v \).
Posons \( u(q) = 2q + 10 \implies u'(q) = 2 \)
Posons \( v'(q) = e^{-0.1q} \implies v(q) = \frac{e^{-0.1q}}{-0.1} = -10e^{-0.1q} \)
\[ \int (2q + 10)e^{-0.1q} dq = (2q + 10)(-10e^{-0.1q}) - \int 2(-10e^{-0.1q}) dq \] \[ = -10(2q + 10)e^{-0.1q} + 20 \int e^{-0.1q} dq \] \[ = -10(2q + 10)e^{-0.1q} - 200e^{-0.1q} + C \] \[ = (-20q - 100 - 200)e^{-0.1q} + C = (-20q - 300)e^{-0.1q} + C \]
2. Expression du Coût Total \( CT(q) \)
On sait que \( CT(0) = 500 \) (Coûts Fixes).
\[ CT(0) = (-20(0) - 300)e^0 + C = -300 + C = 500 \implies C = 800 \] \[ \mathbf{CT(q) = (-20q - 300)e^{-0.1q} + 800} \]
2
Corrigé : Indice de Gini
1. Vérification de la courbe de Lorenz
\( L(x) = \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{3}x^3 \). On vérifie les bornes :
\( L(0) = 0 + 0 = 0 \) (Cohérent : 0% pop possède 0% revenu)
\( L(1) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1 \) (Cohérent : 100% pop possède 100% revenu)
2. Calcul de l'indice de Gini
\[ G = 2 \int_0^1 (x - (\frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{3}x^3)) dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{9} - \frac{x^4}{12} \right]_0^1 \] \[ G = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{9} - \frac{1}{12} \right) = 2 \left( \frac{18 - 8 - 3}{36} \right) \] \[ G = 2 \left( \frac{7}{36} \right) = \frac{7}{18} \approx \mathbf{0.389} \]
Interprétation : L'inégalité est modérée (proche de la moyenne des pays de l'OCDE).
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Corrigé : Surplus du Marché
1. Équilibre du marché
\( 120 - 2Q = 20 + 3Q \implies 100 = 5Q \implies \mathbf{Q^* = 20} \)
\( P^* = 120 - 2(20) = \mathbf{80} \)
2. Surplus du Consommateur (SC)
Formule : \( SC = \int_0^{Q^*} P_d(Q) dQ - P^*Q^* \)
\[ SC = \int_0^{20} (120 - 2Q) dQ - (80 \times 20) \] \[ SC = [120Q - Q^2]_0^{20} - 1600 = (2400 - 400) - 1600 = \mathbf{400 \text{ UM}} \]
3. Surplus du Producteur (SP)
Formule : \( SP = P^*Q^* - \int_0^{Q^*} P_s(Q) dQ \)
\[ SP = 1600 - \int_0^{20} (20 + 3Q) dQ = 1600 - [20Q + 1.5Q^2]_0^{20} \] \[ SP = 1600 - (400 + 600) = \mathbf{600 \text{ UM}} \]
Surplus Total = SC + SP = 400 + 600 = 1000 UM.
Licence Économie & Gestion - Université de Rennes
Document de référence
