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Mathématiques Première
Chapitre : Dérivation
Zoom sur la Pente
Découverte visuelle et intuitive de la tangente et du nombre dérivé.
Sécante → Tangente Nombre dérivé f'(a) Pente & Variations
Lycée Général — Première Spécialité Diapositive 1/7
Étape 1 : La Sécante
Introduction au Taux de Variation
C_f A B a a + h f(a) f(a+h) h f(a+h) - f(a)
Droite sécante (AB) traversant la courbe \(\mathcal{C}_f\)
Le Taux de Variation
Pour deux points distincts \(A\) et \(B\) sur la courbe, la pente (coefficient directeur) de la sécante \((AB)\) mesure la vitesse moyenne d'évolution entre \(a\) et \(a+h\).
Formule de la pente de (AB) :
\[t(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]
Ce rapport est appelé le taux de variation de la fonction \(f\) en \(a\).
Notion de Dérivée — Première Spécialité Diapositive 2/7
Étape 2 : L'approche Dynamique
Faire tendre h vers 0
Étape A : h est grand (\(h = 2\)) A B_1 Sécante (AB_1)
La sécante coupe la courbe en deux points très éloignés.
Étape B : h diminue (\(h = 0,8\)) A B_2 Sécante (AB_2)
Le point B se rapproche le long de la courbe. La pente s'ajuste.
Étape C : h tend vers 0 (\(h \to 0\)) A = B Tangente en A
À la limite, la sécante s'identifie à la tangente au point A.
Que se passe-t-il mathématiquement ? Le taux de variation \(t(h)\) se rapproche d'un nombre fixe unique appelé le nombre dérivé.
Notion de Dérivée — Première Spécialité Diapositive 3/7
Définition Officielle
La Tangente et le Nombre Dérivé
Définition Mathématique
Le Nombre Dérivé
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle contenant \(a\). On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si le taux de variation admis en \(a\) tend vers un nombre réel lorsque \(h\) tend vers \(0\).
Notation et Limite :
\[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]
Interprétation Géométrique
La Tangente
Géométriquement, la courbe possède au point \(A(a; f(a))\) une droite limite appelée la tangente à \(\mathcal{C}_f\) en \(A\).
Le nombre dérivé f'(a) est égal au coefficient directeur (pente) de la tangente en \(a\).
Notion de Dérivée — Première Spécialité Diapositive 4/7
Savoir-Faire 1
Lecture Graphique de f'(a)
1 1 O A(1 ; 1,5) +1 m = +1
Ici, pour \(a=1\), on lit un coefficient directeur de 1. Donc f'(1) = 1.
La Méthode pas à pas
1
Repérer le point de contact
Placez-vous sur la courbe au point d'abscisse \(a\) recherché.
2
Se déplacer de 1 unité
Partez de ce point et déplacez-vous de 1 unité vers la droite (parallèlement à l'axe des abscisses).
3
Rejoindre la tangente
Mesurez le déplacement vertical nécessaire pour rejoindre la droite :
- Si vous montez, la pente est positive.
- Si vous descendez, la pente est négative.
Notion de Dérivée — Première Spécialité Diapositive 5/7
Savoir-Faire 2
Tracé Précis d'une Tangente
Comment tracer la tangente ?
Pour tracer précisément la tangente à la courbe de \(f\) au point \(A(a; f(a))\) sachant que \(f'(a) = m\) :
A. Placez le point de contact principal A(a ; f(a)).
B. Appliquez le coefficient directeur \(m\) pour trouver un second point de repère :
Départ de A → Avancer de 1 → Monter/Descendre de m. Placez le point A'.
C. Reliez les points A et A' à la règle pour obtenir la droite.
Exemple de tracé : \(f'(2) = -1,5\) au point \(A(2 ; 3)\) 1 2 1 +1 -1,5 A(2 ; 3) A'(3 ; 1,5)
Notion de Dérivée — Première Spécialité Diapositive 6/7
Lien fondamental
Signe de f'(x) & Variations
Fonction Croissante
Lorsque la fonction \(f\) monte, toutes ses tangentes "montent" également de gauche à droite.
f'(x) > 0
Sommet (Extremum)
Au sommet d'une "colline" ou au creux d'un "vallon", la tangente est parfaitement horizontale.
f'(x) = 0
Fonction Décroissante
Lorsque la fonction \(f\) descend, toutes ses tangentes "descendent" de gauche à droite.
f'(x) < 0
Règle d'or : Le signe du nombre dérivé donne le sens de variation de la fonction !
Notion de Dérivée — Première Spécialité Diapositive 7/7
Zoom Pente Activite
Zoom sur la Pente
Activité Élève — Première Spécialité
Nom : __________________
Prénom : ________________
Date : __________________
Classe : 1ère _________
Exercice 1
L'approche numérique et graphique : De la sécante à la tangente
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 0,5x^2 - x + 1,5\). On s'intéresse au point fixe A(1 ; f(1)). Soit \(h\) un nombre réel non nul, et \(B\) le point d'abscisse \(1+h\) situé sur la courbe \(\mathcal{C}_f\).
1. Déterminez par le calcul la valeur exacte de \(f(1)\) :
\(f(1) = 0,5 \times (1)^2 - 1 + 1,5 =\)
2. Complétez les cases blanches du tableau ci-dessous en calculant les valeurs correspondantes :
| Pas \(h\) | Abscisse de \(B\) (\(1+h\)) | Ordonnée \(f(1+h)\) | Taux de variation \(t(h) = \frac{f(1+h) - f(1)}{h}\) |
|---|
| h = 2 | \(3\) | \(f(3) = 3\) | \(\frac{3 - 1}{2} = 1\) |
| h = 1 | \(2\) | \(f(2) = \) _________ | \(t(1) = \) ___________________________ |
| h = 0,5 | \(1,5\) | \(f(1,5) = \) _______ | \(t(0,5) = \) _________________________ |
| h = 0,1 | \(1,1\) | \(f(1,1) = 1,005\) | \(t(0,1) = \) _________________________ |
3. Construction graphique :
Sur le graphique ci-contre :
• Placez le point fixe \(A(1 ; 1)\).
• Placez les points \(B_1\) (pour \(h=2\)) et \(B_2\) (pour \(h=1\)).
• Tracez précisément en vert la sécante \((AB_1)\) et en bleu la sécante \((AB_2)\).
4. Conjecture de la limite :
Vers quel nombre réel semble tendre le taux de variation \(t(h)\) lorsque \(h\) tend vers 0 ?
Limite conjecturée : \(\lim_{h \to 0} t(h) = \) ____________
1 2 3 1 2 O C_f A Sécantes à compléter sur \(\mathcal{C}_f\)
Notion de Nombre Dérivé — Cours de Première Page 1 / 3
Zoom sur la Pente
Savoir-faire fondamentaux : Tangentes
Spécialité Mathématiques Première
Exercice 2
Lecture graphique de coefficients directeurs
Ci-dessous est représentée la courbe \(\mathcal{C}_g\) d'une fonction \(g\) ainsi que ses trois tangentes aux points d'abscisses \(-1\), \(1\), et \(3\) (notées respectivement \(T_{-1}\), \(T_1\) et \(T_3\)).
1 1 O C_g T_1 T_{-1} T_3
Zoom Pente Correction
CORRIGÉ & GUIDE ENSEIGNANT
Zoom sur la Pente — Première Spécialité
Ressource Enseignant
Conseils d'animation : Cette activité introduit l'outil fondamental de l'analyse de Première. Insistez sur le fait que la dérivation n'est rien d'autre qu'un zoom local : si l'on zoome infiniment sur une courbe lisse, elle se confond localement avec sa tangente. Le coefficient directeur de cette droite limite est le nombre dérivé.
Exercice 1
Correction : L'approche de la sécante à la tangente
1. Valeur de \(f(1)\) : \(f(1) = 0,5(1)^2 - 1 + 1,5 = 0,5 - 1 + 1,5 = 1\). Le point de contact est A(1 ; 1).
2. Tableau de valeurs corrigé :
| Pas \(h\) | Abscisse \(1+h\) | Ordonnée \(f(1+h)\) | Taux de variation \(t(h) = \frac{f(1+h) - 1}{h}\) |
|---|
| h = 2 | 3 | \(f(3) = 3\) | \(t(2) = 1\) |
| h = 1 | 2 | \(f(2) = 1,5\) | \(t(1) = \frac{1,5 - 1}{1} = 0,5\) |
| h = 0,5 | 1,5 | \(f(1,5) = 1,125\) | \(t(0,5) = \frac{0,125}{0,5} = 0,25\) |
| h = 0,1 | 1,1 | \(f(1,1) = 1,005\) | \(t(0,1) = \frac{0,005}{0,1} = 0,05\) |
3. Note de tracé : Les sécantes \((AB_1)\) de pente \(1\) et \((AB_2)\) de pente \(0,5\) pivotent autour de \(A\) pour s'approcher de la tangente horizontale.
4. Conjecture : Lorsque \(h\) tend vers 0, le taux de variation \(t(h)\) s'approche de 0. On a donc f'(1) = 0. La tangente en \(x=1\) est horizontale (sommet de la parabole).
Exercice 2
Correction : Lecture graphique du nombre dérivé
Pour lire le coefficient directeur \(m\) d'une tangente, on applique la méthode : "décalage de \(+1\) vers la droite, décalage vertical de \(m\)".
T_{-1}
En x = -1 : le point de contact est \((-1 ; 1)\).
En avançant de 1 vers la droite, on monte de 2 carreaux pour toucher la tangente. Donc g'(-1) = 2.
T_1
En x = 1 : le point de contact est \((1 ; 3)\).
La droite est parfaitement horizontale, pas de déplacement vertical. Donc g'(1) = 0.
T_3
En x = 3 : le point de contact est \((3 ; 1)\).
En avançant de 1 vers la droite, on descend de 2 carreaux pour toucher la tangente. Donc g'(3) = -2.
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