Correction Decryptee Brevet 2026
Diplôme National du Brevet 2026 Correction & Pédagogie
Brevet Décrypté : Centres Étrangers
Sujet officiel du 18 juin 2026 — Rédigé et commenté pas à pas pour les élèves de 3ème
Rappel de cours : La clé théorique
Astuce du Prof : Calcul rapide
Alerte Piège : Erreur classique
Partie 1 : Automatismes (6 points) 20 min — Calculatrice interdite
Q1 Médiane d'une série
Trouver la médiane de : 0 °C ; -1 °C ; 3 °C ; 7 °C ; 1 °C
Correction : Pour déterminer la médiane, on commence toujours par ranger la série par ordre croissant : \[-1 \le 0 \le \mathbf{1} \le 3 \le 7\] L'effectif total est \(N = 5\) (impair). La médiane est la valeur centrale (la \(3^{\text{ème}}\) valeur). La température médiane est donc \(1\,^\circ\text{C}\).
Alerte Piège : Ne vous pressez pas ! Sans ordonner la liste, vous auriez choisi la valeur du milieu \(3\,^\circ\text{C}\), ce qui est faux.
Q2 Image par une translation
Image du motif n°4 par la translation de n°2 vers n°6.
Correction : La translation qui transforme le motif \(2\) en \(6\) correspond à un glissement horizontal de deux motifs vers la droite. En appliquant ce glissement au motif \(4\), on obtient le motif \(n^\circ 8\).
Rappel de cours : Une translation fait glisser une figure sans la déformer, sans la tourner, et sans changer ses dimensions.
Q3 Probabilité simple
3 rouges, 5 vertes. Probabilité de piocher une rouge ?
Correction : La boîte contient \(3 + 5 = 8\) boules au total. La probabilité d'obtenir une boule rouge est de : \[P(\text{Rouge}) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}} = \mathbf{\frac{3}{8}} \quad (\text{soit } 0,375 \text{ ou } 37,5\,\%)\]
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DNB Mathématiques 2026 Partie 1 (Suite)
Q4 Formule de trigonométrie
Compléter l'égalité pour \(\cos(\widehat{LKJ})\) dans le triangle JLK rectangle en L.
Correction : Dans le triangle \(JLK\) rectangle en \(L\), pour l'angle \(\widehat{LKJ}\) : Le côté adjacent est \(LK\) et l'hypoténuse est \(JK\). L'égalité trigonométrique correcte est donc : \[\cos(\widehat{LKJ}) = \mathbf{\frac{LK}{JK}}\]
Rappel de cours : Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est donné par la formule : \(\cos(\text{Angle}) = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}}\).
Q5 Notation scientifique
Donner la notation scientifique de la distance Terre-Mars : \(311\,200\,000\text{ km}\).
Correction : Pour écrire un nombre en notation scientifique, on le présente sous la forme \(a \times 10^n\) où \(1 \le a < 10\). Ici, on place la virgule après le premier \(3\), soit \(3,112\), puis on compte les \(8\) décalages vers la droite pour retrouver le nombre initial : \[311\,200\,000 = \mathbf{3,112 \times 10^8}\]
Alerte Piège : Attention au signe de la puissance ! Un grand nombre aura une puissance de \(10\) positive (\(10^8\)), un très petit nombre (ex: \(0,0003\)) aura une puissance négative.
Q6 Distance, Vitesse et Temps
Vitesse de 40 km/h, trajet de 2 h 30 min. Calculer la distance.
Correction : La durée de \(2\text{ h } 30\text{ min}\) s'exprime sous forme décimale : \(t = 2,5\text{ h}\) (car \(30\text{ min} = \frac{1}{2}\text{ h} = 0,5\text{ h}\)). En appliquant la formule de la distance : \[d = v \times t = 40\text{ km/h} \times 2,5\text{ h} = \mathbf{100\text{ km}}\]
Astuce du Prof : Pour multiplier mentalement par \(2,5\), calculez le double de la valeur plus sa moitié : \(40 \times 2 = 80\), la moitié de \(40\) est \(20\), et \(80 + 20 = 100\).
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DNB Mathématiques 2026 Partie 1 (Fin)
Q7 Forme factorisée
Factoriser l'expression \(5x + 5\).
Correction : Le facteur commun est visiblement le nombre \(5\). On réécrit l'expression pour faire apparaître la multiplication par \(1\) : \[5x + 5 = 5 \times x + 5 \times 1 = \mathbf{5(x + 1)}\]
Alerte Piège : Beaucoup d'élèves écrivent \(5x\) ou \(5(x)\). N'oubliez pas que \(5\) équivaut à \(5 \times 1\), le \(1\) est indispensable dans les parenthèses pour conserver l'égalité.
Q8 Diminution en pourcentage
Un prix de 80 € baisse de 10 %. Quel est le calcul correct ?
Correction : Réduire de \(10\,\%\) un montant de \(80\text{ €}\) équivaut à soustraire la valeur de cette baisse : \(\frac{10}{100} \times 80\). Le calcul complet menant au prix final est donc : \[\mathbf{80 - \frac{10}{100} \times 80}\]
Q9 Analyse de graphique
Durée pendant laquelle la hauteur d'eau est supérieure à 4 m.
Correction : Sur le graphique, on repère la droite horizontale correspondant à l'ordonnée \(4\text{ m}\). La courbe est au-dessus de cette ligne entre l'abscisse \(14\text{ h}\) et l'abscisse \(18\text{ h } 30\text{ min}\). La durée est donc de : \(18\text{ h } 30\text{ min} - 14\text{ h} = \mathbf{4\text{ h } 30\text{ min}}\).
Astuce du Prof : Le point final se situe pile à mi-chemin entre \(18\) et \(19\), ce qui représente précisément \(30\) minutes de plus après \(18\text{ h}\).
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Partie 2 — Raisonnement Exercice 1 (4 pts) • Page 1/2
Configurations géométriques & Démonstrations
Synthèse des données : Points alignés : \(A-B-M\) et \(A-C-N\). Triangle \(ABC\) rectangle en \(B\). Triangle \(AMN\) rectangle en \(M\). On donne : \(AB = 6,4\text{ cm}\) ; \(BM = 3,2\text{ cm}\) ; \(AC = 8\text{ cm}\).
1. Construction géométrique
Protocole de tracé :
- Étape 1 : Tracer le segment \([AB]\) horizontal de \(6,4\text{ cm}\) à la règle.
- Étape 2 : Tracer à l'équerre la droite perpendiculaire à \([AB]\) passant par \(B\).
- Étape 3 : Écarter le compas à \(8\text{ cm}\), pointer en \(A\), faire un arc coupant cette perpendiculaire. Le point obtenu est \(C\). Fermer le triangle.
2. Calcul de la longueur \(BC\)
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\). D'après le théorème de Pythagore :
\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)
Remplaçons par les valeurs numériques données :
\[8^2 = 6,4^2 + BC^2 \implies 64 = 40,96 + BC^2\] \[BC^2 = 64 - 40,96 = 23,04\] Comme \(BC\) est une longueur positive, on en déduit la racine carrée : \[BC = \sqrt{23,04} = \mathbf{4,8\text{ cm}}\]
3. Parallélisme de \((BC)\) et \((MN)\)
• Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), donc la droite \((BC)\) est perpendiculaire à la droite \((AB)\). Comme les points \(A\), \(B\), \(M\) sont alignés, la droite \((BC)\) est perpendiculaire à la droite \((AM)\).
• Le triangle \(AMN\) est rectangle en \(M\), donc la droite \((MN)\) est perpendiculaire à la droite \((AM)\).
Or : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Donc : Les droites \((BC)\) et \((MN)\) sont parallèles.
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Partie 2 — Raisonnement Exercice 1 (4 pts) • Page 2/2
Configurations géométriques (Suite)
4. Calcul des longueurs \(MN\) et \(AN\)
Les droites \((BM)\) et \((CN)\) s'intersectent en \(A\). Nous venons de démontrer que les droites \((BC)\) et \((MN)\) sont parallèles.
Nous sommes dans la configuration optimale pour appliquer le théorème de Thalès :
\(\frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{MN}\)
Calculons préalablement la longueur \(AM\) : \(AM = AB + BM = 6,4 + 3,2 = 9,6\text{ cm}\).
Remplaçons les rapports par les mesures numériques connues :
\(\frac{6,4}{9,6} = \frac{8}{AN} = \frac{4,8}{MN}\)
• Calcul de \(AN\) (produit en croix) : \[AN = \frac{8 \times 9,6}{6,4} = \mathbf{12\text{ cm}}\]
• Calcul de \(MN\) (produit en croix) : \[MN = \frac{4,8 \times 9,6}{6,4} = \mathbf{7,2\text{ cm}}\]
5. Analyse et comparaison des périmètres
• Périmètre du triangle \(ABC\) :
\[\mathcal{P}_{ABC} = AB + BC + AC = 6,4 + 4,8 + 8 = \mathbf{19,2\text{ cm}}\]
• Périmètre du quadrilatère \(BMNC\) :
Le contour de \(BMNC\) est formé par les segments \([BM]\), \([MN]\), \([NC]\) et \([CB]\).
Commençons par évaluer \(NC\) : \(NC = AN - AC = 12 - 8 = \mathbf{4\text{ cm}}\). \[\mathcal{P}_{BMNC} = BM + MN + NC + BC = 3,2 + 7,2 + 4 + 4,8 = \mathbf{19,2\text{ cm}}\]
Conclusion de l'exercice : Les deux périmètres sont égaux et valent tous les deux \(19,2\text{ cm}\).
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Partie 2 — Raisonnement Exercice 2 (3,5 pts) • Page 1/2
Espace & Solides : La Gélule
Volume Cylindre :
\(V = \pi \times R^2 \times h\)
Volume Boule :
\(V = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3\)
Litre & Volume :
\(1\text{ L} = 1\text{ dm}^3\)
1. Démontrer la hauteur du cylindre
Le bonbon complet mesure \(15\text{ mm}\) de long. Les deux extrémités en demi-boule ont un rayon \(R = 2,5\text{ mm}\). L'épaisseur occupée par chaque demi-boule correspond précisément à la longueur de son rayon. La hauteur \(h\) du cylindre central s'obtient par soustraction : \[h = 15 - (2,5 + 2,5) = 15 - 5 = \mathbf{10\text{ mm}}\]
2. Calculs de volume (Partie cylindrique et total)
a. Partie cylindrique :
\[V_{\text{cylindre}} = \pi \times R^2 \times h = \pi \times 2,5^2 \times 10 = 62,5\pi \approx \mathbf{196,35\text{ mm}^3}\]
À l'unité près, le volume de la partie cylindrique est bien de \(196\text{ mm}^3\).
b. Volume total du bonbon :
Les deux demi-boules de rayon \(R = 2,5\text{ mm}\) se regroupent pour former une unique boule de rayon \(R = 2,5\text{ mm}\). \[V_{\text{boule}} = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 2,5^3 = \frac{62,5}{3}\pi \approx \mathbf{65,45\text{ mm}^3}\] Le volume global s'exprime par la somme : \[V_{\text{total}} = V_{\text{cylindre}} + V_{\text{boule}} \approx 196,35 + 65,45 = \mathbf{261,8\text{ mm}^3}\] La valeur \(261,8\text{ mm}^3\) est bien située entre \(260\text{ mm}^3\) et \(262\text{ mm}^3\). Léa a donc parfaitement raison !
3. Production journalière avec \(83\text{ L}\)
Commençons par les étapes fondamentales de conversion d'unités :
• On sait que : \(1\text{ dm} = 100\text{ mm}\). Donc \(1\text{ dm}^3 = (100)^3\text{ mm}^3 = 1\,000\,000\text{ mm}^3\).
• Comme \(1\text{ L} = 1\text{ dm}^3\), nous en déduisons : \[83\text{ L} = 83\text{ dm}^3 = 83 \times 1\,000\,000\text{ mm}^3 = \mathbf{83\,000\,000\text{ mm}^3}\]
Déterminons maintenant le nombre maximal de gélules réalisables avec ce volume de pâte : \[N = \frac{V_{\text{mélange}}}{V_{\text{bonbon}}} = \frac{83\,000\,000}{261,8} \approx \mathbf{317\,036\text{ bonbons}}\] Puisque \(317\,036 > 300\,000\), la confiserie est capable d'atteindre et dépasser son objectif de fabrication.
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Partie 2 — Raisonnement Exercice 2 & 3
Comparaison tarifaire & Algèbre
Exercice 2 — Partie B : Choix économique (1 kg de bonbons)
Léa cherche à obtenir \(1000\text{ g}\) de bonbons. Comparons les tarifs :
Format A (500 g à 7,90 €) :
Il faut acheter 2 sachets :
\[2 \times 7,90 = \mathbf{15,80\text{ €}}\]
Format B (250 g à 4,30 €) :
Il faut acheter 4 sachets.
Promo : "3 achetés + 1 à moitié prix"
\[3 \times 4,30 + \frac{4,30}{2} = \mathbf{15,05\text{ €}}\]
Léa doit privilégier le Format B (économie de \(0,75\text{ €}\)).
Exercice 3 : Programmes de calcul (4,5 points)
1. Programme A avec le nombre initial 1 :
On ajoute 6 : \(1+6 = 7\). On soustrait 4 : \(1-4 = -3\). On multiplie les deux : \(7 \times (-3) = \mathbf{-21}\). L'assertion est exacte.
2. Programme B avec le nombre initial 10 :
Calcul du carré : \(10^2 = 100\). On soustrait 9 : \(100 - 9 = \mathbf{91}\).
3. Trouver le nombre de départ pour obtenir 16 avec le programme B :
On formule l'équation correspondante : \[x^2 - 9 = 16 \implies x^2 = 25\] Cette équation admet deux solutions dans \(\mathbb{R}\) : \(x = \sqrt{25} = 5\) ou \(x = -\sqrt{25} = -5\).
Les deux nombres de départs possibles sont \(5\) et \(-5\).
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Partie 2 — Raisonnement Exercice 3 (4,5 pts) • Fin
Algorithmique Scratch & Équations
4. Algorithme — Remplir les blancs Scratch
Pour retranscrire fidèlement les étapes du programme A, nous modifions les variables ainsi :
Ligne 3 : mettre Valeur 1 à réponse + 6
Ligne 4 : mettre Valeur 2 à réponse - 4
Ligne 5 : mettre Résultat à Valeur 1 * Valeur 2
5. Modélisation par \(x\) (Développement)
Si l'on applique le programme de calcul A à une variable de départ \(x\) :
- On ajoute 6 : \(x + 6\)
- On soustrait 4 : \(x - 4\)
- On effectue le produit : \((x + 6)(x - 4)\)
Développons et réduisons l'expression à l'aide de la double distributivité :
\[(x + 6)(x - 4) = x^2 - 4x + 6x - 24\] \[= \mathbf{x^2 + 2x - 24}\] L'expression finale correspond bien à la formule demandée.
6. Résolution de l'équation de comparaison
On cherche la valeur de \(x\) pour laquelle les programmes A et B fournissent le même résultat :
\(x^2 + 2x - 24 = x^2 - 9\)
Soustrayons \(x^2\) de chaque membre de l'équation :
\[2x - 24 = -9\] Ajoutons \(24\) de chaque côté : \[2x = -9 + 24 \implies 2x = 15\] Divisons par \(2\) : \[x = \frac{15}{2} = \mathbf{7,5}\]
Pour obtenir des résultats parfaitement identiques entre les deux programmes, le nombre de départ choisi doit être \(7,5\).
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