DNB CHRONO — GUIDE PÉDAGOGIQUE ENSEIGNANT Page 1 / 3
Brevet Chrono — Guide de l'enseignant Corrigé détaillé (Suite)
Barème : 25 Pts
Partie A : Manipulation d'Expressions (12 pts)
1. Développer et réduire l'expression \( A(x) \) (8 pts)
\( A(x) = \mathbf{(x+3)^2} - \mathbf{(x-3)(x+3)} \)
• Étape 1 (développement de l'identité remarquable) : \( (x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 \) (3 pts)
• Étape 2 (différence de deux carrés) : \( (x-3)(x+3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9 \) (3 pts)
• Étape 3 (simplification générale avec changement de signe) :
\( A(x) = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 9) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 9 \)
\( A(x) = \mathbf{6x + 18} \) (2 pts)
2. Résoudre l'équation \( 6x + 18 = 0 \) (4 pts)
\( 6x + 18 = 0 \Rightarrow 6x = -18 \Rightarrow x = -\frac{18}{6} \Rightarrow \mathbf{x = -3} \) (4 pts).
Partie B : Comparaison de Tarifs (13 pts)
1. Exprimer les tarifs \( f(x) \) et \( g(x) \) en fonction de \( x \) (5 pts)
• Tarif Bleu (sans abonnement) : \( \mathbf{f(x) = 5x} \) (2.5 pts - linéaire)
• Tarif Rouge (abonnement + séances) : \( \mathbf{g(x) = 2x + 18} \) (2.5 pts - affine)
2. Égalité des deux tarifs (5 pts)
On pose l'équation \( f(x) = g(x) \) :
\( 5x = 2x + 18 \Rightarrow 5x - 2x = 18 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = \frac{18}{3} \Rightarrow \mathbf{x = 6} \).
Les deux tarifs reviennent au même prix pour 6 séances (le prix payé sera de \( 6 \times 5 = 30\text{ €} \)). (5 pts).
3. Association graphique (3 pts)
• La droite \((d_1)\) passe par l'origine, donc elle représente la fonction de proportionnalité \( f(x) \). Droite (d1) = Tarif Bleu.
• La droite \((d_2)\) a pour ordonnée à l'origine 18, donc elle représente la fonction affine \( g(x) \). Droite (d2) = Tarif Rouge.
Barème : 12.5 Pts
1. Calcul de la longueur de la rampe AC (7.5 pts)
Le triangle \( ABC \) est rectangle en \( B \). D'après le théorème de Pythagore :
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
\( AC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \)
\( AC = \sqrt{400} = \mathbf{20\text{ m}} \).
Barème : 2.5 pts énoncé du théorème, 2.5 pts étapes du calcul, 2.5 pts calcul final et unité.
2. Calcul de l'angle d'inclinaison \(\widehat{ACB}\) au degré près (5 pts)
Dans le triangle \( ABC \) rectangle en \( B \) :
\( \tan(\widehat{ACB}) = \frac{AB}{BC} = \frac{12}{16} = 0,75 \) (2.5 pts).
À l'aide de la calculatrice, on trouve : \(\widehat{ACB} = \arctan(0,75) \approx \mathbf{37^\circ}\) (arrondi au degré près). (2.5 pts).
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Brevet Chrono — Guide de l'enseignant Fin du Corrigé & Barème
Barème : 12.5 Pts
1. Calculer la longueur du support horizontal \( DE \) (7.5 pts)
• Les droites \( (AB) \) et \( (AC) \) sont sécantes en \( A \).
• Les points \( A, D, B \) sont alignés dans le même ordre que \( A, E, C \).
• Les droites \( (DE) \) et \( (BC) \) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès : \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \). (2.5 pts)
En remplaçant par les valeurs : \( \frac{3}{12} = \frac{DE}{16} \) (2.5 pts).
D'où : \( DE = \frac{3 \times 16}{12} = \frac{48}{12} = \mathbf{4\text{ m}} \) (2.5 pts).
2. Rapport de réduction & Transformation (5 pts)
Le triangle \( ADE \) est une réduction du triangle \( ABC \).
• Le rapport de cette réduction est : \( k = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{12} = \mathbf{0,25} \) (ou \( \frac{1}{4} \)). (2.5 pts)
• La transformation géométrique correspondante est une homothétie de centre A et de rapport 0,25. (2.5 pts).
Barème : 20 Pts
1. Justifier la probabilité de jouer avec l'Urne A (5 pts)
Un dé équilibré possède 6 faces de probabilités identiques. Le joueur n'obtient l'Urne A que s'il fait un "6".
Il y a 1 seule face gagnante sur 6 faces au total. En situation d'équiprobabilité :
\( P(\text{Urne A}) = \mathbf{\frac{1}{6}} \). (5 pts)
2. Si on tire dans l'Urne A, probabilité d'avoir une rouge (5 pts)
L'Urne A contient 3 billes (2 rouges, 1 verte). Les tirages sont équiprobables.
La probabilité d'obtenir une bille rouge est donc de \( \mathbf{\frac{2}{3}} \) (ou environ \( 0,67 \)). (5 pts)
3. Compléter les branches de l'arbre (10 pts)
• Branche vers Urne B : \( \mathbf{\frac{5}{6}} \) (2.5 pts)
• Branche de A vers R : \( \mathbf{\frac{2}{3}} \) (2.5 pts)
• Branche de A vers V : \( \mathbf{\frac{1}{3}} \) (1.25 pts)
• Branche de B vers R : \( \mathbf{\frac{1}{4}} \) (2.5 pts)
• Branche de B vers V : \( \mathbf{\frac{3}{4}} \) (1.25 pts)
Conformément aux directives officielles du DNB, 10 points sur 100 sont réservés à la qualité de la langue française, à la présentation des copies et à la rigueur des raisonnements. Accordez des points de bonus aux élèves qui font des phrases de conclusion structurées et soignent leurs tracés géométriques.
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Formule officielle :
\[ V_{\text{boule}} = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3 \]
\( R^3 = R \times R \times R \). Utilisez la touche exponentielle de la calculatrice.
Comparez simplement le volume liquide (celui de la boule fondu) au volume d'accueil du récipient (le cône). Si le volume de la boule est inférieur au volume du cône, aucun débordement n'est possible.
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Brevet Chrono — Volume 2 Thème : Équations & Scratch Géométrique
25 points
Partie A : Équation Produit Nul
On considère l'équation suivante : \( (2x - 5)(x + 4) = 0 \)
1. Résoudre cette équation. Écrire les deux solutions trouvées.
Partie B : Algorithme Géométrique
On étudie le script de dessin ci-dessous. Le lutin commence au centre de l'écran, orienté vers la droite (90°), stylo baissé.
quand drapeau cliqué
effacer tout
stylo en position d'écriture
mettre côté à 50
répéter 4 fois
avancer de côté
tourner de ↩ 90 degrés
mettre côté à côté + 20
1. Quelle figure géométrique est tracée par ce script ? Quelle est la longueur du premier segment tracé ?
2. Quelle est la longueur du 4ème segment tracé ? Justifier.
Rappel du théorème :
« Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul. »
Écrivez :
\( 2x - 5 = 0 \) OU \( x + 4 = 0 \), puis résolvez séparément les deux mini-équations.
À chaque répétition de la boucle, le lutin avance de la valeur de la variable côté, puis cette variable augmente de 20.
• Tour 1 : côté = 50
• Tour 2 : côté = 50 + 20 = 70
Suivez cette logique pour calculer les valeurs suivantes !
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Brevet Chrono — Volume 2 Thème : Probabilités & Tableau à double entrée
20 points
Le tableau des effectifs
Dans un collège de 200 élèves de 3ème, on étudie le choix des langues vivantes 2 (LV2). Le tableau à double entrée est incomplet.
| Catégorie | Espagnol | Allemand | Total |
|---|---|---|---|
| Filles | 70 | 35 | 105 |
| Garçons | 55 | Case A | Case B |
| Total | 125 | 75 | 200 |
1. Compléter le tableau ci-dessus par de simples calculs d'additions ou de soustractions.
Indiquez ci-dessous comment vous trouvez les valeurs des cases A et B :
2. On choisit un élève de 3ème au hasard. Quelle est la probabilité que cet élève étudie l'allemand ? Donner le résultat sous forme de fraction simplifiée.
3. On choisit au hasard un garçon de ce collège. Quelle est la probabilité qu'il étudie l'espagnol ?
Révisez bien vos fiches, soignez le sommeil la veille des épreuves, et lisez attentivement chaque consigne deux fois. Bonne chance pour le brevet !
Les totaux de chaque ligne et colonne doivent correspondre à la somme des cases intérieures.
• Total Allemand = Allemand Filles + Allemand Garçons.
• Total Garçons = Garçons Espagnol + Garçons Allemand.
Attention au dénominateur !
• Question 2 : l'univers est "tous les élèves de 3ème" (soit 200).
• Question 3 : l'univers restreint est uniquement "les garçons" (la valeur de la Case B). Le dénominateur change !
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2. Calculer le volume de la boule de glace (10 pts)
Formule du volume de la boule : \( V_{\text{boule}} = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3 \) (3 pts)
On remplace par \( R = 3\text{ cm} \) :
\( V_{\text{boule}} = \frac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi\text{ cm}^3 \) (3.5 pts - valeur exacte)
Valeur arrondie : \( V_{\text{boule}} \approx \mathbf{113\text{ cm}^3} \) (3.5 pts - valeur arrondie).
3. La glace liquide va-t-elle déborder du cornet ? (5 pts)
Le volume de la boule de glace est exactement égal au volume intérieur disponible dans le cornet (\( 36\pi\text{ cm}^3 \approx 113\text{ cm}^3 \)).
Conclusion : La glace liquide remplira le cône jusqu'au bord supérieur sans déborder (en supposant qu'il n'y ait pas de perte de volume lors du changement d'état). (5 pts).
Barème : 10 Pts
Résolution de l'équation produit nul \( (2x - 5)(x + 4) = 0 \) (10 pts)
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs au moins est nul. (2 pts)
On résout les deux équations séparément :
• Facteur 1 : \( 2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2} = \mathbf{2,5} \) (4 pts)
• Facteur 2 : \( x + 4 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = -4} \) (4 pts).
L'équation admet deux solutions réelles : -4 et 2,5.
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Brevet Chrono — Guide de l'enseignant Fin du Corrigé & Barème
Barème : 15 Pts
1. Nature de la figure & longueur du premier segment (7.5 pts)
• Le script comporte une boucle répétant 4 fois des avancées suivies de rotations à 90°. Les longueurs de segments changent à chaque itération. Il trace une spirale carrée ouverte (ou un début d'escargot carré). (3.5 pts)
• Initialement, la variable côté vaut 50. Le premier segment tracé mesure donc 50 pas (ou pixels). (4 pts).
2. Longueur du 4ème segment tracé (7.5 pts)
Suivi de la variable "côté" pas-à-pas dans la boucle :
• Étape 1 (1er segment) : côté = 50 pas, puis côté prend la valeur \( 50 + 20 = 70 \).
• Étape 2 (2nd segment) : côté = 70 pas, puis côté prend la valeur \( 70 + 20 = 90 \).
• Étape 3 (3ème segment) : côté = 90 pas, puis côté prend la valeur \( 90 + 20 = 110 \).
• Étape 4 (4ème segment) : côté = 110 pas.
La longueur du 4ème segment est donc de 110 pas. (2.5 pts par étape de calcul d'incrémentation).
Barème : 20 Pts
1. Compléter le tableau (5 pts)
• Case A (Garçons Allemand) : Le total Allemand est de 75, et il y a 35 filles.
\( \text{Allemand Garçons} = 75 - 35 = \mathbf{40} \). (2.5 pts)
• Case B (Total Garçons) : \( \text{Garçons Espagnol} + \text{Garçons Allemand} = 55 + 40 = \mathbf{95} \). (2.5 pts)
(Vérification : Total général = 105 filles + 95 garçons = 200).
2. Probabilité que l'élève étudie l'allemand (7.5 pts)
L'effectif total est de 200 élèves. 75 élèves étudient l'allemand.
\( P = \frac{75}{200} = \frac{25 \times 3}{25 \times 8} = \mathbf{\frac{3}{8}} \) (ou \( 0,375 \) soit \( 37,5\% \)).
Barème : 2.5 pts choix du numérateur/dénominateur, 2.5 pts calcul, 2.5 pts simplification de fraction.
3. Probabilité qu'un garçon étudie l'espagnol (7.5 pts)
Attention ! On restreint le choix aux seuls garçons (95 au total).
Parmi les garçons, 55 étudient l'espagnol.
\( P = \frac{55}{95} = \frac{5 \times 11}{5 \times 19} = \mathbf{\frac{11}{19}} \) (ou environ \( 0,58 \) soit \( 58\% \)).
Barème : 3.5 pts choix du bon dénominateur (95 et non 200), 4 pts calcul de probabilité simplifié.
Soin & Rigueur : 10 points sur 100 s'appliquent sur la présentation et le soin de la langue française. N'hésitez pas à pénaliser les rédactions sans connecteurs logiques ("donc", "car", "puisque").
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