Tram T11 Resolution Document Résolution Technique
Exercice 4 : Tramway T11 Express (Epinay - Villetaneuse)
Physique & Cinématique
Module : Mécanique du Point
Énoncé du Problème
Déterminer le temps minimal pour parcourir \( d = 4 \text{ km} \) entre deux gares avec une accélération et décélération de module \( |a| = 1 \text{ m/s}^2 \).
Cas 1 : Aucune limite de vitesse.
Cas 2 : Vitesse maximale \( v_{max} = 60 \text{ km/h} \).
1. Données et Modélisation
Le mouvement est rectiligne uniformément varié (MRUV) par phases. On note :
Distance totale : \( D = 4000 \text{ m} \)
Accélération : \( a = 1 \text{ m/s}^2 \)
Décélération : \( a' = -1 \text{ m/s}^2 \)
Equations de base
\( v(t) = a \cdot t + v_0 \)
\( x(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 t + x_0 \)
1 Cas sans limite de vitesse
Stratégie : Pour minimiser le temps, le tram doit accélérer au maximum jusqu'à la moitié du trajet, puis décélérer au maximum pour s'arrêter pile à la station.
Par symétrie (\( |a| = |a'| \)), la phase d'accélération dure le même temps \( t_1 \) et couvre la même distance \( d_1 = D/2 \) que la phase de décélération.
Distance phase 1 : \[ d_1 = \frac{1}{2} a \cdot t_1^2 = \frac{D}{2} \]
D'où : \[ t_1 = \sqrt{\frac{D}{a}} = \sqrt{\frac{4000}{1}} = \sqrt{4000} \approx 63,25 \text{ s} \]
Le temps total \( T_1 \) est : \[ T_1 = 2 \cdot t_1 = 2 \cdot 63,25 = \mathbf{126,5 \text{ s}} \]
Vitesse de pointe atteinte :
\( v_{peak} = a \cdot t_1 = 63,25 \text{ m/s} \approx \mathbf{227,7 \text{ km/h}} \)
2 Cas avec vitesse limite (60 km/h)
A. Conversion de la vitesse limite
\[ v_{lim} = \frac{60 \text{ km/h}}{3,6} \approx \mathbf{16,67 \text{ m/s}} \]
Phase 1 : Accélération
Temps : \( t_{acc} = \frac{v_{lim}}{a} \)
\( t_{acc} = 16,67 \text{ s} \)
Distance : \( d_{acc} = \frac{1}{2} a t_{acc}^2 \)
\( d_{acc} \approx 138,89 \text{ m} \)
Phase 3 : Freinage
Par symétrie :
\( t_{dec} = 16,67 \text{ s} \)
Distance :
\( d_{dec} \approx 138,89 \text{ m} \)
Phase 2 : Vitesse Constante
Distance restante :
\( D_{const} = D - (d_{acc} + d_{dec}) \)
\( D_{const} = 3722,22 \text{ m} \)
Temps à \( v_{lim} \) :
\( t_{const} \approx 223,33 \text{ s} \)
Résultat Final Cas 2
Temps total \( T_2 \)
\( T_2 = t_{acc} + t_{const} + t_{dec} \)
256,67 s
≈ 4 min 17 s
Synthèse Comparative
Paramètre Cas 1 (Libre) Cas 2 (60 km/h) Vitesse max 227,7 km/h 60 km/h Temps Total 126,5 s 256,7 s Différence + 103% de temps en plus
Note d'ingénierie :
Le plafonnement de la vitesse à 60 km/h, typique des zones urbaines denses pour des raisons de sécurité et d'énergie, double pratiquement le temps de trajet par rapport à une circulation sans contrainte. Cela souligne l'importance de l'espacement des stations dans la conception des réseaux express.
Tram T11 Slides Cinématique du Tramway
ÉTUDE DE CAS : T11 EXPRESS
Niveau Universitaire • Mécanique
Contexte Réel
Ligne T11
Liaison entre Épinay-sur-Seine et Villetaneuse Université.
Distance : 4 km
|a| = 1 m/s²
Schéma du parcours urbain
CAS #1
Vitesse Libre (Optimisation pure)
Pour un trajet minimal entre deux arrêts, on utilise un profil de vitesse en triangle.
Conditions :
Accélération max (\( a \)) constante
Décélération max (\( -a \)) constante
Changement de phase à la mi-distance (\( D/2 \))
Modèle Mathématique
\( d_1 = \frac{1}{2} a t_1^2 = \frac{D}{2} \)
\( t_1 = \sqrt{\frac{D}{a}} \)
\( T_{total} = 2 \cdot t_1 \)
Résultat : Vitesse Libre
Temps Total
126.5
secondes
Le Problème Physique :
La vitesse maximale atteinte est de :
227.7 km/h
Irréaliste en zone urbaine / Tramway.
CAS #2
Vitesse Limitée (60 km/h)
Profil de vitesse : TRAPÈZE
1
Accélération jusqu'à \( v_{max} \)
2
Vitesse constante (\( v_{max} \))
3
Décélération jusqu'à l'arrêt
Conversion cruciale
60 / 3.6 = 16.67 m/s
"Plus la vitesse limite est basse, plus la phase à vitesse constante est longue par rapport aux phases transitoires."
Décomposition du mouvement
PHASE 1 (ACC)
\( t = v_{max} / a \)
16.67 s
Distance
138.9 m
PHASE 2 (CONST)
Distance restante :
3722.2 m
Temps
223.3 s
PHASE 3 (DEC)
Identique à P1
16.67 s
Distance
138.9 m
Conclusion : L'impact de la limite
Cas 1
127 s
Cas 2
257 s
Le temps de parcours est doublé par la contrainte urbaine.
Visualisation de la ligne T11
Veuillez fournir un lien YouTube pour inclure une démonstration.
Tram T11 Student Worksheet Fiche de Travaux Dirigés : Cinématique
Réf: MECA-T11-04
Nom / Étudiant :
Date :
Exercice : Le Tramway T11 Express
Le tram part de la station Épinay-sur-Seine et s'arrête à la station Villetaneuse Université. La distance entre les deux stations est de 4 km. Le tram accélère et décélère avec |a| = 1 m/s².
Objectif : Déterminer le temps minimal pour parcourir le trajet.
CAS 1
Mouvement sans limite de vitesse
1. Justifier le type de profil de vitesse (trajectoire optimale) :
2. Calcul du temps de mi-parcours \( t_1 \) et du temps total \( T_1 \) :
Zone de calcul
3. Quelle est la vitesse maximale théorique atteinte ? (en km/h)
CAS 2
Vitesse maximale limitée à 60 km/h
1. Conversion de \( v_{max} \) en unités SI (\( m/s \)) :
2. Calcul des phases transitoires (Accélération et Décélération) :
Temps \( t_{acc} \)
Distance \( d_{acc} \)
3. Calcul de la phase à vitesse constante :
Détermination de \( d_{const} \) et \( t_{const} \)
4. Temps total de parcours \( T_2 \) :
\( T_2 = \) ____________________ s
Analyse Critique
Comparez les deux résultats. Pourquoi la limite de 60 km/h est-elle imposée en milieu urbain selon vous ?
UFR Sciences & Techniques • Département de Physique
Tram T11 Answer Key CORRIGÉ TYPE
Cinématique : Tramway T11 Express
Document Enseignant
Distance \( D = 4000 \text{ m} \), Accélération \( a = 1 \text{ m/s}^2 \). Objectif : \( T_{min} \).
CAS 1
Mouvement sans limite de vitesse
1. Justification du profil
Pour minimiser le temps avec une accélération bornée, il faut utiliser l'accélération maximale possible le plus longtemps possible. Sans limite de vitesse, on accélère jusqu'à la moitié de la distance (\( D/2 \)), puis on décélère immédiatement à \( a_{max} \). Le profil de vitesse est donc triangulaire.
2. Calculs
Par symétrie, la distance d'accélération est \( d_1 = 2000 \text{ m} \).
\( d_1 = \frac{1}{2} a t_1^2 \implies 2000 = 0,5 \cdot 1 \cdot t_1^2 \)
\( t_1 = \sqrt{4000} \approx \mathbf{63,25 \text{ s}} \)
\( T_{total} = 2 \cdot t_1 = \mathbf{126,5 \text{ s}} \)
3. Vitesse maximale
\( v_{max} = a \cdot t_1 = 1 \cdot 63,25 = 63,25 \text{ m/s} \)
\( v_{max} \text{ (km/h)} = 63,25 \cdot 3,6 = \mathbf{227,7 \text{ km/h}} \)
CAS 2
Vitesse maximale limitée à 60 km/h
1. Conversion SI
\( v_{lim} = \frac{60}{3,6} = \mathbf{16,67 \text{ m/s}} \) (ou \( \frac{50}{3} \text{ m/s} \))
2a. Temps phases transitoires
\( t_{acc} = \frac{v_{lim}}{a} = \frac{16,67}{1} = \mathbf{16,67 \text{ s}} \)
\( t_{dec} = 16,67 \text{ s} \) (symétrie)
2b. Distance phases transitoires
\( d_{acc} = \frac{1}{2} a t_{acc}^2 = 0,5 \cdot 1 \cdot (16,67)^2 \)
\( d_{acc} \approx 138,89 \text{ m} \)
\( d_{dec} \approx 138,89 \text{ m} \)
3. Phase à vitesse constante
\( d_{const} = D - (d_{acc} + d_{dec}) = 4000 - 277,78 = \mathbf{3722,22 \text{ m}} \)
\( t_{const} = \frac{d_{const}}{v_{lim}} = \frac{3722,22}{16,67} = \mathbf{223,33 \text{ s}} \)
4. Temps total
\( T_2 = t_{acc} + t_{const} + t_{dec} \)
256,67 s
(soit environ 4 minutes et 17 secondes)
Conseils de Correction & Barème
Identification du profil (Triangle vs Trapèze) 2 pts
Conversion des unités (km/h vers m/s) 1 pt
Calculs Cas 1 (Utilisation correcte de la racine carrée) 3 pts
Calculs Cas 2 (Soustraction des distances d'acc/déc) 4 pts
Erreur fréquente : Oublier que la décélération consomme aussi de la distance, ou confondre le temps total avec le temps d'une seule phase.
Bolt vs Cheval Resolution Document Analyse de Performance
Duel Cinématique : Bolt vs Pur-sang
Rapport Technique
ID: RUN-PHS-2024
L'Enjeu du Duel
Usain Bolt (Recordman du monde) affronte un cheval au galop. Bolt part de l'origine (\( x=0 \)) tandis que le cheval bénéficie d'un handicap de 20 mètres d'avance.
Question : Bolt peut-il rattraper le cheval avant la marque des 100 mètres ?
1. Harmonisation des Unités
Vitesse d'Usain Bolt
37,58 km/h
\[ v_B = \frac{37,58}{3,6} \approx \mathbf{10,44 \text{ m/s}} \]
Vitesse du Cheval
8,00 m/s
Donnée directement en SI. \[ v_H = \mathbf{8,00 \text{ m/s}} \]
2. Équations Horaires de Position
On définit l'origine \( x=0 \) à la position de départ de Bolt et \( t=0 \) au déclenchement de la course.
Usain Bolt :
\( x_B(t) = 10,44 \cdot t \)
Le Cheval (Handicap +20m) :
\( x_H(t) = 8,00 \cdot t + 20 \)
Le rattrapage a lieu lorsque les deux positions sont égales :
3. Résolution du Système
\[ 10,44 \cdot t = 8,00 \cdot t + 20 \]
\[ (10,44 - 8,00) \cdot t = 20 \]
\[ 2,44 \cdot t = 20 \]
Temps de rattrapage :
\( t \approx \mathbf{8,20 \text{ s}} \)
4. Localisation et Verdict
On injecte \( t \approx 8,20 \text{ s} \) dans l'équation de Bolt :
Position du rattrapage
85,61 m
VERDICT : OUI
Puisque 85,6 m < 100 m, Usain Bolt rattrape effectivement le cheval avant la ligne d'arrivée des 100 mètres.
Mission accomplie
Synthèse des données
Athlète Vitesse (m/s) Position Initiale Distance à 8.2s Usain Bolt 10,44 0 m 85,61 m Cheval 8,00 20 m 85,60 m
Bolt vs Cheval Slides BOLT vs PUR-SANG
Duel de Cinématique Linéaire
VITESSE
TEMPS
DISTANCE
Le Défi
PROBLÉMATIQUE
Usain Bolt peut-il rattraper un cheval au galop sur une piste de 100 mètres...
Sachant que le cheval a 20 m d'avance au départ ?
BOLT
CHEVAL
Configuration Initiale
Comparaison des Performances
USAIN BOLT
Vitesse Record
37,58 km/h
Conversion SI
10,44 m/s
CHEVAL AU GALOP
Vitesse Moyenne
8,00 m/s
Avance au départ
+ 20,00 m
Mise en Équation
Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU)
Position de Bolt (\( x_B \)) :
\( x_B(t) = 10,44 \cdot t \)
Position du Cheval (\( x_H \)) :
\( x_H(t) = 8,00 \cdot t + 20 \)
Condition de Rencontre
Bolt rattrape le cheval à l'instant \( t \) où leurs positions sont identiques.
\( x_B(t) = x_H(t) \)
Résolution Algébrique
Égalité \( 10,44 \, t = 8,00 \, t + 20 \)
Regroupement \( 2,44 \, t = 20 \)
Temps \( t_{critique} \) 8,20 s
Le Verdict de la Piste
Position Finale
85.6 m
SUCCÈS
Bolt rattrape le cheval 14.4 mètres avant la ligne d'arrivée.
Calcul : \( 10.44 \times 8.20 = 85.6 \)
Ce qu'il faut retenir
Conversions
L'harmonisation des unités (\( km/h \to m/s \)) est la première étape critique de tout problème de physique.
Équations
Définir un référentiel clair (\( x=0 \), \( t=0 \)) permet de poser des équations horaires fiables.
Analyse
Vérifier toujours si le résultat final est cohérent avec les contraintes du problème (ici, les 100m).
Bolt vs Cheval Student Worksheet Duel de Vitesse : Bolt vs Cheval
TD #05 • Cinématique Linéaire
Nom de l'étudiant :
Groupe :
Énoncé du problème
On organise une course de 100 m entre Usain Bolt (\( v = 37,58 \text{ km/h} \)) et un cheval au galop (\( v = 8 \text{ m/s} \)). On suppose que les deux concurrents se déplacent à vitesse constante. On accorde un handicap de 20 m d'avance au cheval.
Bolt peut-il rattraper le cheval avant la ligne d'arrivée ?
1 Harmonisation des données (Conversions SI)
Vitesse de Bolt :
Vitesse du Cheval :
2 Mise en équation du mouvement
Définissez vos équations horaires de position \( x_B(t) \) et \( x_H(t) \) en prenant l'origine au départ de Bolt.
3 Résolution du point de rencontre
Déterminez l'instant \( t \) auquel Bolt rattrape le cheval.
4 Position et Verdict Final
À quelle distance du départ de Bolt se produit le rattrapage ?
Conclusion
OUI, il le rattrape
NON, il ne le rattrape pas
Justifiez votre réponse par rapport à la longueur de la piste.
Extension
Si on avait utilisé la vitesse de pointe d'Usain Bolt (environ 44 km/h) au lieu de sa vitesse moyenne sur 100m, quelle distance d'avance aurait-on pu donner au cheval pour que Bolt le rattrape quand même à la marque des 100m ?
UFR Sciences & Techniques • Mécanique du Point Matériel
Bolt vs Cheval Answer Key CORRIGÉ : DUEL BOLT vs CHEVAL
Cinématique à Vitesse Constante
Document Enseignant
Usain Bolt (\( 37,58 \text{ km/h} \)) vs Cheval (\( 8 \text{ m/s} \)) + \( 20 \text{ m} \) d'avance. Piste de \( 100 \text{ m} \).
1 Conversions SI
Usain Bolt :
\( v_B = \frac{37,58}{3,6} \approx \mathbf{10,44 \text{ m/s}} \)
Cheval :
\( v_H = \mathbf{8,00 \text{ m/s}} \)
2 Équations horaires
\( x_B(t) = v_B \cdot t = \mathbf{10,44 \cdot t} \)
\( x_H(t) = v_H \cdot t + x_0 = \mathbf{8,00 \cdot t + 20} \)
3 Temps de rattrapage
On cherche \( t \) tel que \( x_B(t) = x_H(t) \)
\( 10,44 \cdot t = 8,00 \cdot t + 20 \)
\( (10,44 - 8,00) \cdot t = 20 \)
\( t = \frac{20}{2,44} \approx \mathbf{8,20 \text{ s}} \)
4 Verdict Final
Position de rencontre
\( x \approx 85,61 \text{ m} \)
OUI !
Justification : Le rattrapage a lieu à \( 85,6 \text{ m} \), ce qui est inférieur aux \( 100 \text{ m} \) de la course. Bolt franchit la ligne en \( 100 / 10,44 \approx 9,58 \text{ s} \) alors que le cheval la franchit en \( 80 / 8 \approx 10 \text{ s} \) (temps mesuré pour parcourir les 80m restants).
Corrigé Extension
Vitesse de pointe \( v_B = 44 \text{ km/h} \approx 12,22 \text{ m/s} \).
À la marque des \( 100 \text{ m} \), Bolt arrive au temps \( t = \frac{100}{12,22} \approx 8,18 \text{ s} \).
Pendant ce temps, le cheval parcourt \( d = 8 \cdot 8,18 = 65,44 \text{ m} \).
Avance maximale autorisée : \( 100 - 65,44 = \mathbf{34,56 \text{ m}} \).
Barème suggéré : 1 (conv) + 1 (eq) + 2 (t) + 1 (verdict)
Cinematics Summary Assessment Évaluation de Cinématique
Application : Transports et Performance
Durée : 30 min
Module : Mécanique 101
Nom : ___________________________
Prénom : ________________________
I. Questions de Cours (4 pts)
1. Quelle est la condition sur l'accélération pour qu'un mouvement soit considéré comme Rectiligne Uniforme (MRU) ?
2. Donnez l'expression de la distance parcourue \( d \) en fonction du temps \( t \) pour un départ arrêté avec une accélération constante \( a \).
II. Problème de Rattrapage (10 pts)
Un bus de ville (A) démarre d'un arrêt avec une accélération constante de \( 0,5 \text{ m/s}^2 \). Au même instant, un cycliste (B) passe devant l'arrêt à une vitesse constante de \( 18 \text{ km/h} \).
1. Convertissez la vitesse du cycliste en m/s.
2. Établissez les équations horaires de position \( x_A(t) \) et \( x_B(t) \).
Bus (MRUV)
Cycliste (MRU)
3. Déterminez l'instant \( t \) où le bus rattrape le cycliste.
4. À quelle distance de l'arrêt le bus dépasse-t-il le cycliste ?
III. Analyse Graphique (6 pts)
Représentez schématiquement l'évolution de la vitesse \( v(t) \) pour les deux véhicules du problème précédent.
Vitesse (v)
Temps (t)
Tracer ici le profil v(t) du bus et du cycliste
Indice : L'un des profils est une droite horizontale, l'autre est une droite passante par l'origine. Identifiez-les clairement sur votre schéma.
Examen de Cinématique • Université de Technologie
Cinematics Summary Assessment Answer Key CORRIGÉ DE L'ÉVALUATION
Cinématique : MRU et MRUV
Correction Enseignant
I. Questions de Cours (4 pts)
1. Condition sur l'accélération (MRU) :
L'accélération doit être nulle (\( a = 0 \text{ m/s}^2 \)). La vitesse est donc constante.
2. Expression de la distance (MRUV) :
\[ d = \frac{1}{2} a \cdot t^2 \]
II. Problème de Rattrapage (10 pts)
1. Conversion de la vitesse du cycliste :
\( v_B = \frac{18 \text{ km/h}}{3,6} = \mathbf{5 \text{ m/s}} \)
Équation Bus (A) :
\( x_A(t) = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot t^2 = \mathbf{0,25 \cdot t^2} \)
Équation Cycliste (B) :
\( x_B(t) = \mathbf{5 \cdot t} \)
3. Résolution du temps de rattrapage :
On pose \( x_A(t) = x_B(t) \)
\( 0,25 \cdot t^2 = 5 \cdot t \)
\( 0,25 \cdot t = 5 \) (en simplifiant par \( t \neq 0 \))
\( t = \frac{5}{0,25} = \mathbf{20 \text{ s}} \)
4. Distance de rattrapage :
\( x = 5 \cdot 20 = \mathbf{100 \text{ m} }\)
Vérification : \( 0,25 \cdot (20)^2 = 0,25 \cdot 400 = 100 \text{ m} \). Coherent.
III. Analyse Graphique (6 pts)
Cycliste : La courbe est une droite horizontale passant par \( v = 5 \text{ m/s} \). Sa vitesse ne change pas au cours du temps.
Bus : La courbe est une droite affine (passant par l'origine) de pente \( a = 0,5 \text{ m/s}^2 \). Son équation est \( v(t) = 0,5 \cdot t \).
Intersection : Les deux courbes se croisent à \( t = 10 \text{ s} \). C'est l'instant où le bus et le cycliste ont la même vitesse.
Points d'attention : L'étudiant doit graduer les axes et nommer les courbes.
Barème de Notation
Total /20
Partie I : Théorie4 pts
Partie II - Q1 : Conversion2 pts
Partie II - Q2 : Équations2 pts
Partie II - Q3 : Temps4 pts
Partie II - Q4 : Distance2 pts
Partie III : Graphique6 pts
Cinematics Reference Sheet Aide-Mémoire Cinématique
Synthèse des Formules et Méthodologies
v1.0 • 2026
1. Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU)
Définition
Vitesse constante, accélération nulle.
\( a(t) = 0 \)
Équation Horaire
Évolution linéaire de la position.
\( x(t) = v \cdot t + x_0 \)
2. Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV)
Accélération
\( a(t) = a = \text{const} \)
Vitesse
\( v(t) = a \cdot t + v_0 \)
Position
\( x(t) = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + x_0 \)
Relation indépendante du temps (RIT) : \( v_f^2 - v_i^2 = 2 \cdot a \cdot \Delta x \)
3. Méthodologie de Résolution
1
Définir le Référentiel
Choisir l'origine des positions (\( x=0 \)) et l'instant initial (\( t=0 \)).
2
Conversion d'Unités
Passer impérativement les km/h en m/s (diviser par 3,6).
3
Poser les Équations
Écrire une équation de position par mobile.
4
Résoudre le Système
Poser \( x_1(t) = x_2(t) \) pour trouver l'instant de rencontre.
Valeurs Courantes de Conversion
36 km/h
10 m/s
54 km/h
15 m/s
72 km/h
20 m/s
90 km/h
25 m/s
Cinématique Appliquée • Ingénierie & Physique • Documentation de Synthèse
Bus vs Cycliste Resolution Document Résolution Technique : Poursuite Urbaine
Cas : Bus de ville vs Cycliste
Étude de Cas #3
Mouvement Mixte : MRU / MRUV
Énoncé
Un bus (A) démarre d'un arrêt avec une accélération \( a = 0,5 \text{ m/s}^2 \). Au même instant (\( t=0 \)), un cycliste (B) passe à sa hauteur à une vitesse constante \( v = 18 \text{ km/h} \).
1. Conversion et Paramètres
Cycliste (Vitesse constante)
\[ v_B = \frac{18}{3,6} = \mathbf{5 \text{ m/s}} \]
Bus (Accélération constante)
\( a_A = \mathbf{0,5 \text{ m/s}^2} \)
\( v_{0,A} = 0 \) (Départ arrêté)
2. Modélisation des Trajectoires
Équations de position \( x(t) \)
Bus : \( x_A(t) = \frac{1}{2} a_A t^2 = 0,25 \, t^2 \)
Cycliste : \( x_B(t) = v_B t = 5 \, t \)
On fixe l'origine \( x=0 \) à l'arrêt de bus pour simplifier les constantes d'intégration (\( x_0 = 0 \)).
3. Recherche du Rattrapage
Le bus rattrape le cycliste quand \( x_A(t) = x_B(t) \)
\[ 0,25 \, t^2 = 5 \, t \]
\[ 0,25 \, t^2 - 5 \, t = 0 \]
\[ t \cdot (0,25 \, t - 5) = 0 \]
Solution 1 (Départ)
\( t = 0 \text{ s} \)
Solution 2 (Rattrapage)
\( t = \frac{5}{0,25} = \mathbf{20 \text{ s}} \)
4. Résultats Finaux
Distance parcourue :
\( x = 5 \cdot 20 = \mathbf{100 \text{ m}} \)
Vitesse du bus au rattrapage :
\( v_A = 0,5 \cdot 20 = \mathbf{10 \text{ m/s}} \)
(Soit 36 km/h : le bus va deux fois plus vite que le cycliste)
Cette résolution illustre le concept de "poursuite" où un objet accéléré finit toujours par rattraper un objet à vitesse constante, à condition que le temps de course soit suffisant.
Randonneur Resolution Document Résolution : Le Randonneur Égaré
Cinématique Vectorielle & Trigonométrie
Exercice 8
Analyse des Déplacements
Données du Problème
Trajet 1 (A → B)
Durée : \( \Delta t_1 = 2 \text{ h} \)
Vitesse : \( v_1 = 6 \text{ km/h} \)
Direction : Nord-Est (\( 45^\circ \) / Est)
Trajet 2 (B → C)
Durée : \( \Delta t_2 = 1,5 \text{ h} \)
Vitesse : \( v_2 = 4 \text{ km/h} \)
Direction : Sud
a) Repérage et Vecteurs
On définit le repère \( (A, \vec{u}_x, \vec{u}_y) \) avec \( \vec{u}_x \) vers l'Est et \( \vec{u}_y \) vers le Nord.
Coordonnées de B :
Distance \( AB = v_1 \cdot \Delta t_1 = 6 \cdot 2 = 12 \text{ km} \)
\( x_B = 12 \cdot \cos(45^\circ) = 6\sqrt{2} \approx \mathbf{8,49 \text{ km}} \)
Coordonnées de C :
Distance \( BC = v_2 \cdot \Delta t_2 = 4 \cdot 1,5 = 6 \text{ km} \) (Direction Sud : \( \Delta x = 0, \Delta y = -6 \))
\( x_C = x_B + 0 = \mathbf{8,49 \text{ km}} \)
b) Distance directe (AC)
La distance directe correspond à la norme du vecteur de déplacement \( \vec{AC} \).
\( AC = \sqrt{x_C^2 + y_C^2} \)
\( AC = \sqrt{(8,49)^2 + (2,49)^2} \)
\( AC = \sqrt{72 + 6,18} = \sqrt{78,18} \)
\( AC \approx \mathbf{8,84 \text{ km}} \)
c) Temps de trajet direct
Calcul du temps \( t \) pour parcourir \( AC \) à la vitesse \( v_1 = 6 \text{ km/h} \).
\( t = \frac{AC}{v_1} \)
=
\( \frac{8,84}{6} \)
\( \approx 1,47 \text{ h} \)
Conversion : \( 1,47 \text{ h} = 1 \text{ h} + 0,47 \cdot 60 \text{ min} \approx \mathbf{1 \text{ h } 28 \text{ min}} \)
d) Direction de marche
On cherche l'angle \( \theta \) que fait le vecteur \( \vec{AC} \) avec l'axe Ouest-Est (Axe \( x \)).
\( \tan(\theta) = \frac{y_C}{x_C} \)
\( \tan(\theta) = \frac{2,49}{8,49} \approx 0,293 \)
\( \theta = \arctan(0,293) \approx \mathbf{16,3^\circ} \)
L'angle est positif, la direction est donc Nord-Est (mais plus proche de l'Est que le trajet initial).
Verdict Directionnel
Cap : 73.7° par rapport au Nord
Cette résolution souligne l'importance de l'approche vectorielle : la distance directe (déplacement) est inférieure à la somme des distances parcourues (18 km vs 8.84 km).
Randonneur Expedition Slides Le Randonneur Égaré
Cinématique Vectorielle 2D
Navigation
Vecteurs
Trigonométrie
Journal de Marche
1 Segment A → B
Vitesse : 6 km/h
2 Segment B → C
Vitesse : 4 km/h
Objectif Mission
"Retrouver le chemin le plus court vers la sortie (Point C) depuis le départ (Point A)."
Modélisation Géométrique
Le Repère
Axe Y : Nord (+)
Axe X : Est (+)
Origine (0,0) : Point A
Distance AB :
12 km
Schéma du parcours vectoriel
(Projections trigonométriques à 45°)
Projection des Points
Position de l'étape B :
Est (\(x\)) 8,49 km
Nord (\(y\)) 8,49 km
Calcul : \( 12 \cdot \cos(45^\circ) \) et \( 12 \cdot \sin(45^\circ) \)
Position finale C :
Est (\(x\)) 8,49 km
Nord (\(y\)) 2,49 km
Le trajet B → C retire 6 km à la composante Nord.
Le Raccourci (AC)
\( AC = \sqrt{x^2 + y^2} \)
Pour aller directement de A à C, il ne faut parcourir que :
8.84 km
Comparez aux 18 km marchés initialement par le randonneur !
Temps de Sauvetage
Vitesse \(v_1\)
6 km/h
Temps direct
1 h 28 min
Économie de temps : ~ 2 h 02 min !
L'Angle du Salut
16,3°
Nord / Est
"En marchant directement vers l'Est avec une légère correction de 16° vers le Nord, le randonneur aurait trouvé la sortie bien plus vite."
Récapitulatif Vectoriel
Composantes
Tout vecteur peut être décomposé en composantes orthogonales (x et y) en utilisant le sinus et le cosinus.
Addition
Pour trouver le déplacement final, on additionne les composantes séparément : \( \sum \Delta x \) et \( \sum \Delta y \).
Résultante
La norme (distance) et l'angle s'obtiennent via Pythagore et la fonction Arctangente.
Randonneur Student Worksheet TD : Le Randonneur Égaré
TD #06 • Cinématique Vectorielle
Nom de l'étudiant :
Groupe :
Énoncé de l'exercice 8
Un randonneur se situant en un point A s'est égaré. Il marche pendant 2 h à 6 km/h vers le Nord-Est (point B), puis 1h30 à 4 km/h vers le Sud (point C).
a Construction Géométrique
Faire le schéma à l'échelle (1 cm = 1 km suggéré). Représentez A, B, C et les vecteurs vitesses.
ORIGINE A
NORD
b Détermination de la distance totale (AC)
Calcul des coordonnées des points B et C :
Calcul de la norme AC (Pythagore) :
c Temps de trajet direct
Calculez le temps \( t \) pour parcourir AC à la vitesse \( v_1 = 6 \text{ km/h} \).
d Direction et Angle
Déterminez l'angle \( \theta \) que fait cette direction avec l'axe Ouest-Est.
UFR Sciences & Techniques • Mécanique du Point Matériel
Randonneur Answer Key Assessment CORRIGÉ : LE RANDONNEUR ÉGARÉ
Vecteurs et Trigonométrie
Correction Enseignant
a Schéma et Vecteurs
• Point A à l'origine (0,0).
• Vecteur \( \vec{AB} \) : Angle de \( 45^\circ \) avec l'axe Est, longueur \( 12 \text{ cm} \) (échelle 1:1).
• Vecteur \( \vec{BC} \) : Vertical vers le bas (Sud), longueur \( 6 \text{ cm} \).
• Vecteurs vitesse \( \vec{v}_1 \) (colinéaire à \( \vec{AB} \)) et \( \vec{v}_2 \) (colinéaire à \( \vec{BC} \)).
b Distance totale (AC)
1. Coordonnées de B :
\( x_B = 12 \cdot \cos(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \mathbf{8,49 \text{ km}} \)
\( y_B = 12 \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \mathbf{8,49 \text{ km}} \)
2. Coordonnées de C :
\( x_C = 8,49 + 0 = \mathbf{8,49 \text{ km}} \)
\( y_C = 8,49 - 6 = \mathbf{2,49 \text{ km}} \)
3. Distance AC :
\( AC = \sqrt{x_C^2 + y_C^2} = \sqrt{8,49^2 + 2,49^2} = \sqrt{72 + 6,2} \)
\( AC \approx \mathbf{8,84 \text{ km}} \)
c Temps de trajet direct
\( t = \frac{AC}{v_1} = \frac{8,84}{6} \approx \mathbf{1,47 \text{ h}} \)
Soit environ 1 h 28 min.
d Direction et Angle
\( \tan(\theta) = \frac{y_C}{x_C} = \frac{2,49}{8,49} \approx 0,293 \)
\( \theta = \arctan(0,293) \approx \mathbf{16,3^\circ} \)
Direction : Nord-Est (16,3° au Nord de l'Est).
Barème Suggéré
Critère Points Construction géométrique précise (Échelle et orientation) 3 pts Calcul correct des coordonnées de B et C (Trigonométrie) 4 pts Calcul de la distance AC (Théorème de Pythagore) 2 pts Détermination du temps (Relation d=v*t et conversion) 2 pts Détermination de l'angle (Arctangente) 2 pts TOTAL 13 pts
Freinage Tram Ex9 Resolution Document Résolution Technique : Freinage d'Urgence
Analyse de Sécurité : Tramway Ex 9
Étude de Cas Sécurité
Module : Cinématique Appliquée
a) Distance jusqu'à la détection de l'obstacle
Phase 1 : Accélération (10 s)
\( a_1 = 1,3 \text{ m/s}^2 \)
\( v_0 = a_1 \cdot t_1 = 1,3 \cdot 10 = \mathbf{13 \text{ m/s}} \)
Phase 2 : Vitesse Constante (60 s)
\( v = v_0 = 13 \text{ m/s} \)
\( d_2 = v_0 \cdot t_2 = 13 \cdot 60 = \mathbf{780 \text{ m}} \)
Résultat Partiel
Distance totale parcourue au moment où le conducteur voit l'obstacle :
845 m
Calcul : \( 65 + 780 = 845 \)
b) Capacité d'évitement de l'obstacle
L'obstacle est détecté à 50 m. Deux délais interviennent avant l'arrêt complet.
1. Temps de Réaction (\( t_R = 2 \text{ s} \))
Le tram continue à \( 13 \text{ m/s} \).
\( d_R = v_0 \cdot t_R = 13 \cdot 2 = \mathbf{26 \text{ m}} \)
Distance Restante
24 m
2. Phase de Freinage (\( a_2 = -3 \text{ m/s}^2 \))
Calcul de la distance d'arrêt \( d_F \) nécessaire pour passer de \( 13 \to 0 \text{ m/s} \) :
\( v_f^2 - v_i^2 = 2 \cdot a_2 \cdot d_F \)
VERDICT SÉCURITÉ : IMPACT
La distance totale nécessaire pour s'arrêter est de 54,17 m (\( 26 + 28,17 \)). Comme l'obstacle est situé à seulement 50 m, le choc est inévitable.
Distance de collision : l'obstacle est percuté à environ 4,17 m avant l'arrêt complet.
c) Analyse Graphique \( v(t) \)
Points clés pour le tracé de la vitesse :
Intervalle Évolution Valeurs (m/s) 0 - 10 s Croissance linéaire (pente 1,3) \( 0 \to 13 \) 10 - 70 s Plateau horizontal \( 13 \) 70 - 72 s Réaction (Plateau) \( 13 \) 72 - 76,33 s Décroissance linéaire (pente -3) \( 13 \to 0 \)
Fin de résolution technique • Application ferroviaire
Freinage Tram Slides FREINAGE D'URGENCE
Analyse de Sécurité Ferroviaire
Cinématique Appliquée
Le Scénario
Un tramway en service normal aperçoit soudain un obstacle à 50 mètres.
Données de départ
Accélération : 1.3 m/s² (10s)
Vitesse stable : 1 min
50 m
Distance de sécurité disponible
Phase Initiale : Déplacement
1. Mise en vitesse
Accélération de 0 à 10s
Vitesse \( v_0 \) 13 m/s
Distance \( d_1 \) 65 m
2. Vitesse Croisière
Vitesse constante pendant 60s
Vitesse 46.8 km/h
Distance \( d_2 \) 780 m
Distance totale parcourue au moment de l'alerte : 845 m
Le Temps de Réaction
L'ennemi invisible de la sécurité
2 Secondes
C'est le délai moyen pour un conducteur surpris avant d'activer les freins.
Distance parcourue sans freiner
\( 13 \times 2 = \) 26 m
"Sur les 50 mètres disponibles, plus de la moitié est consommée AVANT le début du freinage."
Décélération d'Urgence
Décélération \( a_2 \)
- 3.0 m/s²
Calcul par la relation indépendante du temps :
\( d_F = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2a} = \frac{0 - 169}{-6} \)
Distance de Freinage Pure
28.17 m
Bilan Final
Arrêt Total
54.2 m
Obstacle à
50.0 m
COLLISION !
Le tramway heurte l'obstacle à environ 4 mètres de la fin du freinage.
Graphique de Vitesse
Profil de Vitesse Complet
Triangle (Accel) → Plateau → Plateau (Réaction) → Descente (Frein)
Chronologie
0-10s : Accélération
10-70s : Croisière
70-72s : Réaction
72-76.3s : Freinage
"Notez l'importance de la phase de réaction (vitesse stable) qui décale la courbe de freinage vers la droite."
Freinage Tram Student Worksheet TD : Sécurité et Freinage d'Urgence
TD #07 • Cinématique Appliquée
Nom de l'étudiant :
Date :
Énoncé de l'exercice 9
Un tramway accélère avec a₁ = 1,3 m.s⁻² pendant 10 s. Il maintient sa vitesse pendant une minute. Soudain, un obstacle est aperçu à 50 m. Le conducteur a un temps de réaction de 2 s et le freinage d'urgence est de a₂ = -3 m.s⁻².
a Calcul de la distance parcourue avant l'alerte
Décomposez le mouvement en deux phases (accélération puis vitesse constante).
b Analyse de l'arrêt d'urgence
1. Distance parcourue pendant le temps de réaction :
2. Distance nécessaire pour le freinage complet :
Verdict final
Le tramway s'arrête-t-il avant l'obstacle ? Justifiez par un calcul de distance totale.
c Profil de vitesse \( v(t) \)
Tracer l'évolution de la vitesse depuis le départ jusqu'à l'arrêt complet (ou l'impact).
Vitesse (m/s)
Temps (s)
v_max
0
Réflexion sur la Sécurité
Quel paramètre (vitesse initiale, temps de réaction, ou puissance de freinage) a le plus d'influence sur l'évitement de l'obstacle dans ce cas précis ? Pourquoi ?
UFR Sciences & Techniques • Ingénierie des Transports
Freinage Tram Answer Key Worksheet CORRIGÉ : FREINAGE TRAMWAY (EX 9)
Cinématique et Sécurité Routière
Guide Enseignant
a Distance parcourue avant l'alerte
Phase 1 (Accélération)
\( v_0 = a_1 \cdot t_1 = 1,3 \cdot 10 = \mathbf{13 \text{ m/s}} \)
\( d_1 = \frac{1}{2} a_1 t_1^2 = 0,5 \cdot 1,3 \cdot 100 = \mathbf{65 \text{ m}} \)
Phase 2 (Vitesse constante)
\( d_2 = v_0 \cdot t_2 = 13 \cdot 60 = \mathbf{780 \text{ m}} \)
Distance totale = 65 + 780 = 845 m
b Analyse de l'arrêt d'urgence
1. RÉACTION (2 s)
\( d_R = 13 \cdot 2 = \mathbf{26 \text{ m}} \)
2. FREINAGE (-3 m/s²)
\( d_F = \frac{0 - 13^2}{2 \cdot (-3)} \approx \mathbf{28,17 \text{ m}} \)
Verdict Final : COLLISION
Distance d'arrêt totale : \( 26 + 28,17 = \mathbf{54,17 \text{ m}} \)
c Points clés du graphique \( v(t) \)
Temps (s) Vitesse (m/s) Forme 0 0 Linéaire croissante (a=1,3) 10 13 70 13 Palier horizontal 72 13 Palier (Réaction) 76,33 0 Linéaire décroissante (a=-3)
Notes de Correction
• Barème : a) 4 pts, b) 4 pts, c) 2 pts.
• Erreur type : Oublier la distance de réaction (26 m) et ne calculer que la distance de freinage pure.
• Concept clé : Le temps de réaction est le facteur critique ici, car il consomme plus de 50% de la marge de sécurité (26 m sur les 50 m dispo).
Document de Correction • Physique pour le Transport • 2026
Braking Phase Deep Dive Document Focus Technique : La Phase de Freinage
Décomposition Physique et Méthodologique
Note Pédagogique
MRUV : Décélération
1. Comprendre la Décélération
Dans le cadre du MRUV (Mouvement Rectiligne Uniformément Varié), le freinage est une phase où le vecteur accélération \(\vec{a}\) est de sens opposé au vecteur vitesse \(\vec{v}\).
Signe de l'accélération
Si le mouvement s'effectue dans le sens positif de l'axe :
a < 0 | Mouvement retardé
Conséquence sur la vitesse
La vitesse diminue linéairement avec le temps :
v(t) = a \cdot t + v_i
2. L'Outil Clé : La Relation Indépendante du Temps (RIT)
Pour calculer une distance d'arrêt sans connaître la durée exacte du freinage, on utilise la relation dérivée de la conservation de l'énergie (ou intégration par rapport à l'espace) :
v_f^2 - v_i^2 = 2 \cdot a \cdot d
Vitesse finale (0)
Vitesse initiale
Décélération (négative)
Démonstration rapide :
\( v = a t + v_i \implies t = (v - v_i)/a \)
3. Application Précise (Exercice 9)
Le tramway arrive à \( 13 \text{ m/s} \) (\( v_i \)) et doit s'immobiliser (\( v_f = 0 \)) avec une décélération \( a = -3 \text{ m/s}^2 \).
1. Calcul de la distance de freinage (\( d_F \)) : \( 0^2 - 13^2 = 2 \cdot (-3) \cdot d_F \)
2. Simplification : \( -169 = -6 \cdot d_F \)
Distance de freinage pure : 28,17 m
4. Distance de Freinage vs Distance d'Arrêt
Il est crucial de ne pas confondre ces deux grandeurs en ingénierie de sécurité :
Distance de freinage : Dépend uniquement de la mécanique (freins, friction).
Distance d'arrêt : Inclut le facteur humain (temps de réaction).
Équation de Sécurité
\( D_{arrêt} = d_{réaction} + d_{freinage} \)
Dans l'exercice 9 : \( 26 \text{ m} + 28,17 \text{ m} = \mathbf{54,17 \text{ m}} \)
Cette note explicite pourquoi le freinage est mathématiquement le passage par une accélération négative et comment la RIT permet une résolution rapide des problèmes de sécurité routière.
RIT Mastery Worksheet Maîtrise de la RIT
Relation Indépendante du Temps : \( v_f^2 - v_i^2 = 2 \cdot a \cdot d \)
Fiche d'Entraînement
Module : Mécanique / Cinématique
Rappel Mathématique
\( v_f^2 - v_i^2 = 2 \cdot a \cdot d \)
\( v_f \) : Vitesse finale (m/s)
\( v_i \) : Vitesse initiale (m/s)
\( a \) : Accélération (m/s²)
\( d \) : Distance parcourue (m)
Note : Utilisez cette formule pour résoudre des problèmes où le temps n'est pas donné.
1
Décélération d'un Avion
Un avion de ligne touche la piste à une vitesse de 252 km/h. Il doit s'arrêter sur une distance de 1,2 km. Quelle est la décélération constante requise ?
Calculs & Unités SI
2
Performance d'une Voiture de Sport
Une voiture de sport capable d'une accélération constante de 4,5 m/s² part de l'arrêt. Quelle vitesse (en km/h) aura-t-elle atteinte après avoir parcouru seulement 200 m ?
Calculs & Unités SI
3
Collision Évitée ?
Un conducteur roule à 90 km/h. Il aperçoit un obstacle et freine immédiatement (temps de réaction négligé pour cet exercice). Ses freins permettent une décélération de 6 m/s². L'obstacle est à 60 mètres. Parvient-il à s'arrêter à temps ? Justifiez.
Démonstration Mathématique
Verdict final : __________________________________________________________________________
4
Le Cas du Métro Automatique
Un métro automatique entre en station à 15 m/s. Il doit s'arrêter exactement devant les portes palières situées à 45 m de l'entrée du quai.
Analyse d'Ingénierie
UFR Sciences & Techniques • Département de Mécanique
RIT Mastery Answer Key CORRIGÉ : MAÎTRISE DE LA RIT
Relation Indépendante du Temps : \( v_f^2 - v_i^2 = 2 \cdot a \cdot d \)
Document Enseignant
Réf: RIT-SOLUTIONS
1
Décélération d'un Avion
Conversions : \( v_i = 252 / 3,6 = \mathbf{70 \text{ m/s}} \) ; \( d = \mathbf{1200 \text{ m}} \) ; \( v_f = \mathbf{0} \)
Calcul de \( a \) :
\( v_f^2 - v_i^2 = 2 \cdot a \cdot d \)
\( 0^2 - 70^2 = 2 \cdot a \cdot 1200 \)
\( -4900 = 2400 \cdot a \)
\( a = -4900 / 2400 \approx \mathbf{-2,04 \text{ m/s}^2} \)
La décélération requise est de 2,04 m/s².
2
Performance d'une Voiture
Paramètres : \( a = \mathbf{4,5 \text{ m/s}^2} \) ; \( v_i = \mathbf{0} \) ; \( d = \mathbf{200 \text{ m}} \)
Calcul de \( v_f \) :
\( v_f^2 - v_i^2 = 2 \cdot a \cdot d \)
\( v_f^2 - 0 = 2 \cdot 4,5 \cdot 200 \)
\( v_f^2 = 1800 \implies v_f = \sqrt{1800} \approx \mathbf{42,43 \text{ m/s}} \)
Conversion : \( 42,43 \cdot 3,6 \approx \mathbf{152,7 \text{ km/h}} \)
3
Collision Évitée ?
Données : \( v_i = 90 / 3,6 = \mathbf{25 \text{ m/s}} \) ; \( a = \mathbf{-6 \text{ m/s}^2} \)
Calcul de la distance d'arrêt \( d \) :
\( 0^2 - 25^2 = 2 \cdot (-6) \cdot d \)
\( -625 = -12 \cdot d \implies d = 625 / 12 \approx \mathbf{52,08 \text{ m}} \)
Verdict : OUI, l'arrêt est possible (52,08 m < 60 m).
4
Métro Automatique
1. Décélération requise :
\( 0 - 15^2 = 2 \cdot a \cdot 45 \implies -225 = 90 \cdot a \)
\( a = -225 / 90 = \mathbf{-2,5 \text{ m/s}^2} \)
2. Contrainte de confort (2 m/s²) :
Si \( |a| = 2 \text{ m/s}^2 \), alors \( d_{min} = v_i^2 / (2|a|) = 15^2 / (2 \cdot 2) = 225 / 4 = \mathbf{56,25 \text{ m}} \)
Verdict : NON. Le métro a besoin de 56,25 m pour s'arrêter confortablement. Avec seulement 45 m, il doit soit entrer plus lentement, soit freiner plus fort.
Points de Vigilance
Vérifier systématiquement que l'accélération \( a \) est injectée avec un signe négatif lors d'un freinage dans l'équation.
Attention aux unités : la distance km doit être convertie en m pour être cohérente avec les m/s².
Rappel : \( v_f \) est souvent égal à 0 dans les problèmes d'arrêt, mais pas dans les problèmes d'accélération (ex: prob 2).
Document de Correction • Mécanique du Point • Support Enseignant
Plan Incliné Resolution Document Note Technique : Statique sur Plan Incliné
Cas d'étude : Équilibre avec ressort (Sujet B)
Mécanique Statistique
Module : Statique du Point
1. Inventaire des Forces et Repérage
Un corps de masse \( m \) est en équilibre sur un plan incliné d'un angle \( \alpha \) par rapport à l'horizontale.
Pesanteur (\( \vec{P} \)) : Verticale, vers le bas. \( P = mg \).
Réaction du Support (\( \vec{R} \)) : Perpendiculaire au plan (absence de frottement supposée).
Tension du Ressort (\( \vec{T} \)) : Parallèle au plan, vers le haut. \( T = k \cdot \Delta l \).
Le Repère de Projection
Axe \( Ox \) : Parallèle au plan incliné.
Axe \( Oy \) : Perpendiculaire au plan incliné.
2. Composantes des Vecteurs Forces
Force Composante sur \( x \) Composante sur \( y \) Poids \( \vec{P} \) \( -mg \cdot \sin(\alpha) \) \( -mg \cdot \cos(\alpha) \) Tension \( \vec{T} \) \( +k \cdot \Delta l \) \( 0 \) Réaction \( \vec{R} \) \( 0 \) \( +R \)
3. Condition d'Équilibre et Résolution
Condition d'équilibre : \( \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \implies \vec{P} + \vec{R} + \vec{T} = \vec{0} \)
Projection sur \( Oy \)
\( R - mg \cdot \cos(\alpha) = 0 \)
\( R = mg \cdot \cos(\alpha) \)
Résistance du support en fonction de \( m \).
Projection sur \( Ox \)
\( k \cdot \Delta l - mg \cdot \sin(\alpha) = 0 \)
\( \Delta l = \frac{mg \cdot \sin(\alpha)}{k} \)
Relation Élongation / Masse.
Commentaires et Analyse
• Linéarité : L'élongation \( \Delta l \) est directement proportionnelle à la masse \( m \). Doubler la masse double l'étirement du ressort, ce qui valide l'utilisation de ressorts pour les pesons.
• Influence de la pente : L'angle \( \alpha \) module l'effet de la pesanteur. Plus le plan est incliné, plus l'élongation est importante. Si \( \alpha = 90^\circ \) (plan vertical), on retrouve le cas du ressort vertical classique (\( \Delta l = mg/k \)).
Résolution Technique • Physique des Solides • 2026
Plan Incliné Student Worksheet TD : Équilibre Statistique
TD #01 • Statique du Point
Nom de l'étudiant :
Date :
Exercice 1 : Plan Incliné et Ressort
Un corps M de masse m est maintenu en équilibre sur un plan incliné d'un angle α par un ressort de raideur k. On néglige tout frottement entre le corps et le plan.
1 Représentation Graphique
Reproduire le schéma de l'énoncé. Faites figurer les forces subies par le corps M ainsi que le repère de projection (x,y) judicieusement choisi.
Zone de Dessin
2 Détermination des Composantes
Exprimez les coordonnées des vecteurs forces dans le repère choisi.
Poids \( \vec{P} \)
Tension \( \vec{T} \)
Réaction \( \vec{R} \)
3 Condition d'Équilibre et Analyse
Posez la condition d'équilibre du corps M :
Expression de l'intensité de la résistance du support (\( R \)) :
Relation entre l'élongation (\( \Delta l \)) et la masse (\( m \)) :
Commentaires sur les résultats :
UFR Sciences & Techniques • Mécanique du Point Matériel
Plan Incliné Answer Key CORRIGÉ : PLAN INCLINÉ ET RESSORT
Statique du Point Matériel
Correction Enseignant
1 Représentation Graphique
Points de vigilance pour le dessin :
Poids (\(\vec{P}\)) : Vertical, partant du centre de M.
Réaction (\(\vec{R}\)) : Perpendiculaire au plan, vers le haut.
Tension (\(\vec{T}\)) : Parallèle au plan, orientée vers le ressort.
Repère : Axe \(Ox\) ascendant le long du plan, Axe \(Oy\) normal au plan.
2 Composantes des Forces
Poids \(\vec{P}\)
\( P_x = -mg \sin\alpha \)
Tension \(\vec{T}\)
\( T_x = +k \Delta l \)
Réaction \(\vec{R}\)
\( R_x = 0 \)
3 Résolution de l'Équilibre
Condition d'équilibre : \( \sum \vec{F} = \vec{0} \implies \vec{P} + \vec{R} + \vec{T} = \vec{0} \)
Résistance du Support (Projection sur Oy) :
\( R - mg \cos\alpha = 0 \implies \mathbf{R = mg \cos\alpha} \)
Relation Élongation / Masse (Projection sur Ox) :
\( k \Delta l - mg \sin\alpha = 0 \implies \mathbf{\Delta l = \frac{mg \sin\alpha}{k}} \)
Commentaire Pédagogique
L'élongation est linéaire par rapport à la masse. L'angle \(\alpha\) agit comme un facteur de réduction du poids efficace : plus la pente est faible (\(\alpha \to 0\)), plus l'élongation est petite, car seule la composante tangentielle du poids travaille contre le ressort. À l'inverse, si le plan est vertical (\(\alpha=90^\circ\)), on retrouve \(\Delta l = mg/k\).
Barème indicatif : Schéma (2) + Composantes (3) + Résolution (3) + Comms (2) = /10
Plan Incliné Slides Statique du Point
Équilibre sur Plan Incliné
Équilibre
Ressort
Plan Incliné
L'Objectif
Étude de Cas B
Déterminer la relation entre la masse m et l'élongation Δl d'un ressort à l'équilibre.
Hypothèses :
Point matériel M
Plan sans frottement
Ressort de raideur k
Modèle géométrique à angle α
Bilan des Forces (FBD)
Poids \(\vec{P}\)
Vertical, vers le bas.
\( P = m \cdot g \)
Tension \(\vec{T}\)
Parallèle au plan, ascendant.
\( T = k \cdot \Delta l \)
Réaction \(\vec{R}\)
Normal au plan, vers le haut.
Inconnue
Choix du Repère
"Pour simplifier les calculs, on incline les axes pour les aligner avec le mouvement potentiel."
Ox
Axe tangent au plan (direction du ressort)
Oy
Axe normal au plan (direction de \(\vec{R}\))
Attention au Poids !
Le poids \(\vec{P}\) doit être projeté :
\( P_x \) \( -mg \sin\alpha \)
\( P_y \) \( -mg \cos\alpha \)
Résolution Algébrique
Condition : \( \vec{P} + \vec{R} + \vec{T} = \vec{0} \)
Sur l'axe Tangent (Ox)
\( k \Delta l - mg \sin\alpha = 0 \)
Sur l'axe Normal (Oy)
\( R - mg \cos\alpha = 0 \)
Résultats Finaux
Résistance du Support
R = mg cos α
Élongation du Ressort
Δl = \(\frac{mg \sin α}{k}\)
Analyse Critique
Linéarité
L'étirement du ressort est proportionnel à la masse déposée. C'est le principe de la pesée.
Influence Angle
Le terme sin α montre que seule la "pente" du poids agit sur le ressort.
Cas Limite
Si α = 90° (vertical) :
Auto-évaluation Forces Student Worksheet Test d'Auto-Évaluation : Forces
Durée : 10 minutes
Nom : ___________________________
Prénom : ________________________
Partie 1 : Équilibre Statique
Entourer les bilans de forces pouvant être à l'équilibre (toutes les forces s'appliquent sur le point central •).
\( \vec{F} \) \( \vec{P} \)
\( \vec{T} \) \( \vec{F} \) \( \vec{P} \)
\( \vec{F} \) \( \vec{T} \) \( \vec{P} \)
\( \vec{T} \) \( \vec{F} \) \( \vec{P} \)
\( \vec{T} \) \( \vec{F} \) \( \vec{P} \)
Partie 2 : Projections
Écrire les projections du vecteur \( \vec{F} \) (de norme \( F \)) sur la base \( (\vec{e}_x, \vec{e}_y) \).
| |
\( \vec{F} \)
\( \vec{e}_x \) \( \vec{e}_y \) \( \theta \)
|
\( \vec{F} \)
\( \vec{e}_x \) \( \vec{e}_y \) \( \theta \)
|
\( \vec{F} \)
\( \vec{e}_x \) \( \vec{e}_y \) \( \theta, \alpha \)
|
| --- | --- | --- | --- |
| \( F_x = \) | | | |
| \( F_y = \) | | | |
L
\( \ell_1 \)
En complément
Une masse \( m \) est suspendue à un ressort de raideur \( k \) et de longueur à vide \( \ell_0 \), et attachée au sol par un fil de longueur \( \ell_1 \). Le fil peut supporter une tension maximale \( T_{max} \). L'autre extrémité du ressort est attachée à un plateau situé à une distance \( L \) du sol.
Trouver l'intervalle de valeurs de \( k \) telles que le fil soit tendu et intact (non cassé), en fonction de \( L \), \( m \), \( \ell_0 \), \( \ell_1 \) et \( g \).
Physique Fondamentale • Auto-évaluation diagnostique • Ne pas utiliser de calculatrice
Auto-évaluation Forces Resolution Document Corrigé : Test d'Auto-Évaluation
Statique et Projections Vectorielles
RÉSOLUTION
Partie 1 : Équilibre du point matériel
Un système est à l'équilibre si la somme vectorielle des forces est nulle : \(\sum \vec{F} = \vec{0}\). Graphiquement, cela signifie que les vecteurs "se compensent" (ils peuvent former un polygone fermé).
OUI
Forces colinéaires opposées.
NON
Aucune force vers le haut pour contrer \(\vec{P}\).
OUI
\(\vec{T}\) a des composantes Haut et Droite.
OUI
\(\vec{T}\) a des composantes Haut et Gauche.
OUI
Deux forces vers le haut contre une vers le bas.
Partie 2 : Projections de \(\vec{F}\)
Composante Cas 1 (\(\theta\) / Ox) Cas 2 (\(\theta\) / Oy) Cas 3 (Plan incliné \(\alpha\)) \( F_x = \) \( F \cos \theta \) \( F \sin \theta \) \( - F \sin \alpha \) \( F_y = \) \( F \sin \theta \) \( F \cos \theta \) \( - F \cos \alpha \)
Note pour le Cas 3 : On considère \(\vec{F}\) comme le poids vertical pointant vers le bas projeté dans un repère lié à une pente d'angle \(\alpha\).
Résolution du Problème Complexe
1. Analyse Géométrique
La longueur du ressort est imposée par la distance \( L \) entre le plateau et le sol, diminuée de la longueur du fil \( \ell_1 \).
2. Bilan des Forces à l'Équilibre
Sur l'axe vertical (ascendant) : \(\sum F_y = 0 \implies F_{ressort} - P - T_{fil} = 0\).
Condition : Fil Tendu
La tension doit être strictement positive.
\( k(L - \ell_1 - \ell_0) - mg > 0 \)
\( k > \frac{mg}{L - \ell_1 - \ell_0} \)
Condition : Fil Intact
La tension ne doit pas dépasser \( T_{max} \).
\( k(L - \ell_1 - \ell_0) - mg \le T_{max} \)
\( k \le \frac{T_{max} + mg}{L - \ell_1 - \ell_0} \)
Résultat Final
\[ k \in \left] \frac{mg}{L - \ell_1 - \ell_0} \, ; \, \frac{T_{max} + mg}{L - \ell_1 - \ell_0} \right] \]
Ce corrigé détaille les étapes de raisonnement attendues pour valider les acquis en statique.
Exercices Statique Similaires Worksheet Statique et Bilans de Forces
Fiche d'Entraînement : Projections & Équilibre
Série 02 - Perfectionnement
Mécanique du Point
1
Suspension Symétrique
Un panneau de signalisation de masse M = 15 kg est suspendu au milieu d'un fil attaché à deux poteaux. Le fil forme un angle α = 15° avec l'horizontale de chaque côté.
Faire le bilan des forces au point de fixation.
Par projection sur l'axe vertical, déterminer la tension T dans le fil.
Que se passe-t-il pour la tension si l'on essaie de rendre le fil parfaitement horizontal (\( \alpha \to 0 \)) ?
2
Le Plan Incliné à Double Masse
Une masse m₁ = 5 kg sur un plan incliné (\( \theta = 30° \)) est reliée par un fil passant par une poulie à une masse pendante m₂. Le système est à l'équilibre sans frottement.
Questions :
Établir l'expression de la tension du fil pour la masse m₂.
En déduire la valeur de la masse m₂ pour maintenir l'équilibre.
Calculer la force de réaction R du plan sur m₁.
Zone de schéma & calcul
3
Expertise Projections
Exprimer les composantes des forces suivantes dans la base \( (\vec{e}_x, \vec{e}_y) \). Attention à l'orientation des axes.
Force \(\vec{F}_1\) verticale
Axe x : incliné à 30° / horiz.
F1x = ____________________
Force \(\vec{F}_2\)
Angle \(\phi\) avec l'axe OY (Vertical)
F2x = ____________________
★
Défi : Le Peson à Ressort Incliné
Un ressort de raideur \( k = 200 \text{ N/m} \) est utilisé pour mesurer la masse d'un objet sur une rampe inclinée à 45°. Si le ressort s'allonge de 5 cm, quelle est la masse de l'objet ? (Prendre \( g = 9,8 \text{ m/s}^2 \)).
Espace de résolution libre
UFR Sciences • TD Statique 02 • Application des Projections
Exercices Statique Similaires Answer Key CORRIGÉ : EXERCICES DE STATIQUE
Projections & Équilibre (Série 02)
Document Enseignant
1
Suspension Symétrique
1. Bilan des forces :
Poids \( \vec{P} \) (bas), Tension \( \vec{T}_1 \) (gauche/haut), Tension \( \vec{T}_2 \) (droite/haut). Par symétrie \( T_1 = T_2 = T \).
2. Projection verticale (Oy) :
\( 2 \cdot T \cdot \sin(15^\circ) - M \cdot g = 0 \)
\( T = \frac{15 \cdot 9,8}{2 \cdot \sin(15^\circ)} \approx \frac{147}{0,5176} \approx \mathbf{284 \text{ N}} \)
Note : La tension est bien supérieure au poids (147 N) à cause du faible angle.
3. Cas limite \( \alpha \to 0 \) :
Comme \( T = \frac{Mg}{2\sin\alpha} \), si \( \alpha \to 0 \), alors \( \sin\alpha \to 0 \) et \( T \to \infty \). Il est physiquement impossible de tendre un fil parfaitement à l'horizontale sous l'effet d'une masse.
2
Plan Incliné à Double Masse
• Masse m₂ : \( T = m_2 \cdot g \)
• Masse m₁ (axe Ox tangent) : \( T - m_1 \cdot g \cdot \sin(30^\circ) = 0 \)
• Résolution : \( m_2 \cdot g = m_1 \cdot g \cdot \sin(30^\circ) \implies m_2 = 5 \cdot 0,5 = \mathbf{2,5 \text{ kg}} \)
• Réaction R : \( R = m_1 \cdot g \cdot \cos(30^\circ) = 5 \cdot 9,8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \mathbf{42,4 \text{ N}} \)
3
Expertise Projections
Cas A (Base à 30° / F verticale)
L'angle entre \(\vec{F}_1\) et l'axe Oy est de 30°.
\( F_{1x} = -F_1 \sin(30^\circ) = \mathbf{-0,5 \cdot F_1} \)
\( F_{1y} = +F_1 \cos(30^\circ) = \mathbf{+0,866 \cdot F_1} \)
Cas B (Angle \(\phi\) avec OY)
La force est dans le quadrant (+x, -y).
\( F_{2x} = F_2 \sin\phi \)
\( F_{2y} = -F_2 \cos\phi \)
★
Défi : Peson Incliné
1. Allongement \( \Delta l = 0,05 \text{ m} \)
2. Force du ressort \( T = k \Delta l = 200 \cdot 0,05 = 10 \text{ N} \)
3. Équilibre sur l'axe tangent : \( T - mg \sin(45^\circ) = 0 \)
\( m = \frac{10}{9,8 \cdot \sin(45^\circ)} \approx \frac{10}{6,93} \approx \mathbf{1,44 \text{ kg}} \)
Barème conseillé : Exo 1 (3 pts), Exo 2 (3 pts), Exo 3 (2 pts), Défi (2 pts).
Mécanique Synthèse Finale Sheet Synthèse de Mécanique
Cinématique Appliquée & Statique du Point
Fiche de Révision
Niveau Universitaire • L1 / Pass / Prépa
I. Cinématique Linéaire (MRU & MRUV)
Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU)
Accélération : \( a(t) = 0 \)
Vitesse : \( v(t) = v_0 = \text{const} \)
Position : \( x(t) = v_0 \cdot t + x_0 \)
Uniformément Varié (MRUV)
Accélération : \( a(t) = a = \text{const} \)
Vitesse : \( v(t) = a \cdot t + v_0 \)
Position : \( x(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + x_0 \)
Relation Indépendante du Temps (RIT)
\( v_f^2 - v_i^2 = 2 \cdot a \cdot \Delta x \)
Conversion SI
\( \times 3,6 \) \( \div 3,6 \)
km/h m/s
II. Statique & Équilibre du Point
Principe Fondamental de la Statique (PFS)
Un point matériel est à l'équilibre si et seulement si la somme vectorielle des forces extérieures qui s'exercent sur lui est nulle.
\( \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \)
Cas du Plan Incliné
Poids (\( \vec{P} \)) tangent : \( -mg \sin \alpha \)
Poids (\( \vec{P} \)) normal : \( -mg \cos \alpha \)
Ressort (\( \vec{T} \)) : \( k \cdot \Delta \ell \)
Méthodologie Projections
1. Tracer les forces sans oublier le poids (\( mg \)).
2. Incliner le repère selon le plan.
3. Projeter séparément sur \( Ox \) et \( Oy \).
III. Sécurité & Analyse de Trajet
Équation d'Arrêt d'Urgence
Phase 1 : Réaction (MRU)
\( d_R = v_0 \cdot t_{réaction} \)
Phase 2 : Freinage (MRUV)
\( d_F = \frac{v_0^2}{2|a_{frein}|} \)
Distance d'Arrêt Totale
\( D_{A} = d_R + d_F \)
Le Cas du Rattrapage
Déterminer l'instant de rencontre entre deux mobiles.
\( x_1(t) = x_2(t) \)
Résoudre l'équation pour \( t \)
Checklist de Résolution
RÉFÉRENTIEL
Définir l'origine des positions (\( x=0 \)) et du temps (\( t=0 \)) sans ambiguïté.
UNITÉS
Convertir impérativement toutes les données en unités SI (m, s, m/s, kg).
ÉQUATIONS
Établir les équations horaires \( x(t) \) ou le bilan des forces \( \sum F = 0 \).
Mécanique Le Grand Récap Slides MÉCANIQUE
Le Grand Récapitulatif
Cinématique
Statique
Sécurité
L'Art du Mouvement
\( v = \frac{dx}{dt} \) • \( a = \frac{dv}{dt} \)
A Accélération Constante
"La vitesse change de manière linéaire, la position de manière quadratique."
Équation Maîtresse
\( x(t) = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + x_0 \)
Le Raccourci RIT
Idéal quand le TEMPS n'est pas une donnée du problème.
\( v_f^2 - v_i^2 = 2 a d \)
L'Équilibre des Forces
Le PFS
\( \sum \vec{F} = \vec{0} \)
"L'immobilité est la compensation parfaite des actions extérieures."
Le Casse-tête du Plan Incliné
P_tangent \( -mg \sin \alpha \)
P_normal \( -mg \cos \alpha \)
Conseil d'Expert
Toujours orienter l'axe X parallèlement à la pente pour annuler la composante de R.
Applications Réelles
Sécurité
L'arrêt n'est jamais instantané.
Mobilité
La gestion des temps de parcours dépend des limites de vitesse et des capacités d'accélération des véhicules urbains.
Mesure
La statique permet de calibrer des pesons et des systèmes de suspension par le biais des raideurs de ressort.
Séquence Terminée
"Vous maîtrisez désormais les bases fondamentales de la cinématique appliquée et de la statique du point."
7 Résolutions
5 Présentations
3 Évaluations
