Corrigé : Substitution et TmS

TD Séance 6 - Microéconomie

DOCUMENT DE RÉFÉRENCE

Exercice 1 : Fonction de production linéaire

Fonction : \( F(K, L) = 4K + 6L \). Inputs : \( K = 18 \), \( L = 32 \).

1) Niveau de production et isoquante :

\( Q = F(18, 32) = 4(18) + 6(32) = 72 + 192 = 264 \).

Isoquante : C'est l'ensemble des combinaisons \((K, L)\) telles que \( 4K + 6L = 264 \). En isolant \( K \), on obtient une droite : \( K = -1.5L + 66 \). Graphiquement, c'est une droite décroissante de pente \(-1.5\).

2) Productivités moyennes (\( PMo \)) :

Pour le travail (L) :

\( PMo_L = \frac{Q}{L} = \frac{4K + 6L}{L} = \frac{4K}{L} + 6 \)

Valeur : \( \frac{4(18)}{32} + 6 = 2.25 + 6 = 8.25 \)

Pour le capital (K) :

\( PMo_K = \frac{Q}{K} = \frac{4K + 6L}{K} = 4 + \frac{6L}{K} \)

Valeur : \( 4 + \frac{6(32)}{18} = 4 + 10.67 = 14.67 \)

3) Productivités marginales (\( Pm \)) :

\( Pm_L = \frac{\partial F}{\partial L} = 6 \) (constante)

\( Pm_K = \frac{\partial F}{\partial K} = 4 \) (constante)

Comme les dérivées secondes sont nulles, les productivités marginales sont constantes (ni croissantes, ni décroissantes).

4) & 5) Taux Marginal de Substitution (TmS) :

\( TmS_{K \to L} \)

\( \frac{Pm_L}{Pm_K} = \frac{6}{4} = 1.5 \)

Interprétation : Pour réduire L d'une unité, il faut 1.5 unités de K en plus pour rester au même niveau de production.

\( TmS_{L \to K} \)

\( \frac{Pm_K}{Pm_L} = \frac{4}{6} \approx 0.67 \)

Interprétation : Pour réduire K d'une unité, il faut 0.67 unités de L en plus.

Exercice 2 : Fonction Cobb-Douglas

Fonction : \( F(K, L) = A \cdot K^{0.4} \cdot L^{0.6} \). Données Situation A : \( L = 286.9 \), \( K = 6.355 \), \( A = 4 \).

1) Niveau de production en A :

\( Q_A = 4 \cdot (6.355)^{0.4} \cdot (286.9)^{0.6} \approx 4 \cdot 2.098 \cdot 29.79 \approx 250 \)

Sur le graphique, cela correspond à l'isoquante orange (marquée \( Q=250 \)).

2) Productivités moyennes :

\( PMo_L = A \cdot K^{0.4} \cdot L^{-0.4} = A \left(\frac{K}{L}\right)^{0.4} \approx 4(0.0221)^{0.4} \approx 0.871 \)

\( PMo_K = A \cdot K^{-0.6} \cdot L^{0.6} = A \left(\frac{L}{K}\right)^{0.6} \approx 4(45.14)^{0.6} \approx 39.34 \)

3) Productivités marginales :

\( Pm_L = 0.6 \cdot A \cdot K^{0.4} \cdot L^{-0.4} \approx 0.6 \cdot 0.871 \approx 0.523 \)

\( Pm_K = 0.4 \cdot A \cdot K^{-0.6} \cdot L^{0.6} \approx 0.4 \cdot 39.34 \approx 15.74 \)

Elles sont décroissantes car les exposants partiels sont inférieurs à 1 (loi des rendements marginaux décroissants).

4) & 5) TmS et Relation :

\( TmS_{K \to L} \)

\( \frac{Pm_L}{Pm_K} = \frac{0.6}{0.4} \cdot \frac{K}{L} = 1.5 \frac{K}{L} \)

En A : \( 1.5 \cdot \frac{6.355}{286.9} \approx 0.0332 \)

\( TmS_{L \to K} \)

\( \frac{Pm_K}{Pm_L} = \frac{0.4}{0.6} \cdot \frac{L}{K} = \frac{2}{3} \frac{L}{K} \)

En A : \( \frac{2}{3} \cdot \frac{286.9}{6.355} \approx 30.1 \)

Rapport : L'un est l'inverse de l'autre : \( TmS_{K/L} = 1 / TmS_{L/K} \).

6) & 7) Optimalité et Dépenses :

Prix : \( r = 16 \), \( w = 2 \). Rapport des prix \( w/r = 2/16 = 0.125 \).

Condition d'optimalité : \( TmS_{K/L} = w/r \). Or, \( 0.0332 \neq 0.125 \). La situation A n'est pas optimale.

Équation de dépense : \( C = rK + wL \implies C = 16K + 2L \). En A : \( C = 16(6.355) + 2(286.9) = 675.48 \).

Exercice 2 : Analyse des Situations B, C, D

Situation	K	L	Production (Q)	Coût (C)	TmS
B	8.444	101.322	150	337.75	0.125
C	14.073	168.87	250	562.91	0.125
D	16.887	202.644	300	675.48	0.125

10) Optimalité : Toutes ces situations (B, C, D) sont optimales car \( TmS = 1.5 \cdot \frac{K}{L} = 0.125 \), ce qui correspond exactement au rapport des prix \( w/r = 0.125 \).

11) Minimisation du coût : \[ TmS = \frac{w}{r} \implies 1.5 \frac{K}{L} = \frac{w}{r} \implies L = 1.5 \cdot K \cdot \frac{r}{w} \] Avec \( r=16, w=2 \), on a : \( L = 1.5 \cdot K \cdot \frac{16}{2} = 1.5 \cdot 8K = 12K \). La courbe \( L = 12K \) est une droite passant par l'origine qui relie tous les points de tangence optimaux.

Exercice 3 : Optimisation

Fonction : \( F(K, L) = A \cdot K^2 \cdot L^3 \). \( A=2, K=2, L=5 \).

1) Production :

\( Q = 2 \cdot 2^2 \cdot 5^3 = 2 \cdot 4 \cdot 125 = 1000 \).

2) Prod. Moyennes :

\( PMo_L = 2K^2L^2 = 2(4)(25) = 200 \)

\( PMo_K = 2KL^3 = 2(2)(125) = 500 \)

3) Prod. Marginales :

\( Pm_L = 6K^2L^2 \) et \( Pm_K = 4KL^3 \). Elles sont ici croissantes par rapport à leur propre facteur car les exposants sont \( > 1 \).

6) & 7) Expressions à l'optimum :

Condition : \( TmS = \frac{Pm_L}{Pm_K} = \frac{6K^2L^2}{4KL^3} = 1.5 \frac{K}{L} = \frac{w}{r} \)

Facteurs en fct des prix

\( K = \frac{w \cdot L}{1.5 \cdot r} \)

\( L = \frac{1.5 \cdot r \cdot K}{w} \)

En fonction de Q (Demandes conditionnelles)

En injectant dans \( Q = 2K^2L^3 \):

\( L(Q) = \left[ \frac{1.125 \cdot Q}{(w/r)^2} \right]^{1/5} \)

\( K(Q) = \left[ \frac{Q}{6.75 (r/w)^3} \right]^{1/5} \)

Substitution et Productivité

Production Substitution Solutions Document

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